В чем измеряется момент инерции?

При исследовании движения по окружности обычно используют величины $\varphi$ (угол поворота); $\overline{\omega }$ (угловая скорость); $\overline{\varepsilon }$ (угловое ускорение); $\overline{M}$ (момент силы) вместо параметров, которые характеризуют поступательное движение тел, таких как $\overline{r}$ (радиус — вектор); $\overline{v}$ (скорость); $\overline{a}$ (ускорение); $\overline{F}$ (сила). В роль массы при вращательном движении (или движении материальной точки по окружности) выполняет момент инерции ( $J$ ). Момент инерции материальной точки, перемещающейся по окружности находят как:

$J=mR^2\ \qquad (1)$

где $m$ – масса материальной точки; $R$ – радиус окружности, по которой движется точка.

Если тело вращается вокруг неподвижной оси, то момент инерции является мерой инертности тела в этом вращении. При этом момент инерции тела (или системы тел) относительно оси вращения определяют как физическую величину, которая равна сумме произведений масс материальных точек $\left(\Delta m_i\right)$ из которых составлено тело, на квадраты расстояний от каждой из них до оси вращения ( $r^2_i$ ):

$J=\sum^N_{i=1}{{\Delta m}_ir^2_i} \qquad (2)$

В том случае, если тело можно считать непрерывным, то

$J=\int_m{r^2dm=\int_V{r^2}\rho dV} \qquad (3)$

в выражении (3) интегрирование проводят по всему объему тела. Параметр $r$ – функция положения материальной точки в пространстве; $\rho$ – плотность тела; $dV$ – элемент объема тела.

Исходя из любого определения момента инерции очевидно, что в международной системе единиц (СИ) момент инерции измеряют в килограммах, умноженных на метр в квадрате.

$\left[J\right]=kg\cdot m^2$

В системе единиц сантиметр – грамм – секунда (СГС) момент инерции измеряют в граммах, умноженных на квадратный сантиметр:

$\left[J\right]=g\cdot {cm}^2$

Безразмерный момент инерции

Существует безразмерный момент инерции, который используют при описании перемещений и структуры небесных тел.

Безразмерным моментом инерции называют физическую величину, равную частному момента инерции тела, обладающего радиусом $r$ и массой $m$ , вращающегося около оси к моменту инерции материальной точки такой же массы ( $m$ ), вращающейся относительно оси расположенной от нее на расстоянии $r$ . Безразмерный момент инерции показывает, как распределяется масса по глубине.

Безразмерный момент инерции однородного шара равен $\frac{2}{5}$ . С увеличением массы тела сосредоточенной у центра, безразмерный момент инерции уменьшается. Структура Луны близка к однородной, ее безразмерный момент инерции равен 0,391. Земля имеющая плотное ядром, обладает безразмерным моментом инерции около 0,335.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Покажите, что единица измерения момента инерции материальной точки, которая совершает вращательные движения около оси, полученная из основного закона динамики вращательного движения совпадает с единицей измерения момента инерции материальной точки, найденной по формуле: $J=mR^2.$

Решение

Исходя из определения момента инерции материальной точки:

$J=mR^2(1.1)$

мы видим, что в системе СИ $J$ измеряется в килограммах, умноженных на метр в квадрате.

$\left[J\right]=kg\cdot m^2$

Для материальной точки, движущейся по окружности, основной закон динамики вращательного движения имеет вид:

$\overline{M}=J\overline{\varepsilon } \qquad (1.2)$

Из формулы (1.2) следует, что:

$J=\frac{\overline{M}}{\overline{\varepsilon }} \qquad (1.3)$

Единицей измерения момента сил в системе СИ является:

$\left[M\right]=N\cdot m=\frac{kg\cdot m}{c^2}m=\frac{kg\cdot m^2}{c^2}$

Угловое ускорение в СИ измеряется в:

$\left[\varepsilon \right]=\frac{\left[a_{\tau }\right]}{\left[R\right]}=\frac{m}{c^2\cdot m}=\frac{1}{c^2}$

Учитывая связь момента инерции, момента силы и углового ускорения (1.3), получим:

$\left[J\right]=\frac{kg\cdot m^2}{c^2}:\ \frac{1}{c^2}=kg\cdot m^2$

Мы получили, что исходя из определения момента инерции и основного закона динамики вращательного движения момент инерции в международной системе единиц измеряется в $\left[J\right]=kg\cdot m^2$ .

ПРИМЕР 2

Задание

Каков безразмерный момент инерции ( $J'$ ) тонкостенной сферы радиуса $R,$ имеющей массу $m$ .

Решение

Сделаем рисунок.

В чем измеряется момент инерции, пример 1

Для решения задачи сначала найдем, чему равен момент инерции сферы. Для этого следует рассмотреть систему координат, центр которой лежит в точке О (центре сферы) (рис.1). Обозначим $J_x$ – момент инерции сферы относительно оси OX; $J_y$ – момент инерции сферы относительно оси OY; $J_z$ – момент инерции сферы относительно оси OZ. Так как сфера является симметричной фигурой, то имеем:

$J_x=J_y=J_z=J\ \qquad (2.1)$

При этом:

$J_x=m\left(y^2+z^2\right); \ J_y=m\left(x^2+z^2\right); \ J_z=m\left(x^2+y^2\right)\ \qquad (2.2)$

Сложим, правые и левые части выражений (2.2), получим:

$J_x+J_y+J_z=m\left(y^2+z^2\right)+m\left(x^2+z^2\right)+m\left(x^2+y^2\right)\ \qquad (2.3)$

Учитывая равенство (2.1), запишем:

$3J=m\left(y^2+z^2+x^2+z^2+x^2+y^2\right)=2mR^2\to J=\frac{2}{3}mR^2\ \qquad (2.4)$

Для того чтобы получить безразмерный момент инерции сферы разделим $J$ в формуле (2.4) на $mR^2$ , получили:

$J'=\frac{J}{mR^2}=\frac{2}{3}$

Ответ

$J'=\frac{2}{3}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

В чем измеряется момент инерции?

Безразмерный момент инерции

Примеры решения задач