Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Момент инерции тела

Определение момента инерции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Мерой инертности вращающегося тела является момент инерции (J) относительно оси, вокруг которой происходит вращение.

Это скалярная (в общем случае тензорная) физическая величина, которая равна произведению масс материальных точек (\Delta m_i) на которые следует провести разбиение рассматриваемого тела, на квадраты расстояний (r^2_i) от них до оси вращения:

    \[J=\sum^k_{i=1}{{\Delta m}_ir^2_i} \qquad (1)\]

В том случае, если тело можно считать непрерывным, то суммирование в формуле (1) заменяют на интегрирование, массы элементов тела обозначают как dm, тогда J тела, вращающегося около оси:

    \[J=\int_m{r^2dm=\int_V{r^2}\rho dV} \qquad (2)\]

где r – функция положения материальной точки в пространстве; \rho – плотность тела; dV –объем элемента тела.

Для однородного тела выражение (2) можно представить как:

    \[J=\rho \int_V{r^2}dV \qquad (3)\]

Момент инерции в международной системе единиц измеряется в :

    \[\left[J\right]=kg\cdot m^2\]

Величина J входит в основные законы, при помощи которых описывают вращение твердого тела.

В общем случае величина момента инерции зависит от направления оси вращения, а так как в процессе движения вектор \overrightarrow{\omega} обычно изменяет свое направление относительно тела, то момент инерции следует рассматривать как функцию времени. Исключением является момент инерции тела, вращающегося вокруг неподвижной оси. В таком случае момент инерции остается постоянным.

Теорема Штейнера

Теорема Штейнера дает возможность вычислить момент инерции тела относительно произвольной оси вращения, когда является известным момент инерции рассматриваемого тела по отношению к оси, проходящей через центр масс этого тела и эти оси являются параллельными. В математическом виде теорема Штейнера представляется как:

    \[J=J_0+ma^2 \qquad (4)\]

где J_0 – момент инерции тела относительно оси вращения, проходящей через центр масс тела; m – масса, рассматриваемого тела; a- расстояние между осями. Обязательно следует помнить, что оси должны быть параллельны. Из выражения (4) следует, что:

    \[J_0<J\]

Некоторые выражения для вычисления моментов инерции тела

При вращении вокруг оси материальная точка имеет момент инерции равный:

    \[J=mr^2 \qquad (5)\]

где m – масса точки; r – расстояние от точки до оси вращения.

Для однородного тонкого стержня массой m и длиной l J относительно оси, проходящей через его центр масс (ось перпендикулярна стержню), равен:

    \[J=\frac{1}{12}ml^2 \qquad (6)\]

Тонкое кольцо, с массой m, вращающееся около оси, которая проходит через его центр, перпендикулярно плоскости кольца, то момент инерции вычисляется как:

    \[J=mR^2 \qquad (5)\]

где R – радиус кольца.

Круглый однородный диск, радиуса R и массы m имеет J относительно оси, проходящей через его центр и перпендикулярной плоскости диска, равный:

    \[J=\frac{mR^2}{2} \qquad (6)\]

Для однородного шара

    \[J=\frac{2mR^2}{5} \qquad (7)\]

где m – масса шара; R – радиус шара. Шар вращается около оси, которая проходит через его центр.

Если осями вращения являются оси прямоугольной декартовой системы координат, то для непрерывного тела моменты инерции можно вычислить как:

    \[J_{xx}=\int_m{\left(y^2+z^2\right)dm=}\int_V{\left(y^2+z^2\right)\rho dV} \qquad(8)\]

    \[J_{yy}=\int_V{\left(x^2+z^2\right)\rho dV} \qquad(9)\]

    \[J_{zz}=\int_V{\left(y^2+x^2\right)\rho dV} \qquad(10)\]

где x,y,z – координаты бесконечно малого элемента тела.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Два шарика, которые можно считать точечными, скреплены тонким невесомым стержнем. Длина стержня l. Каков момент инерции данной системы, по отношению к оси, которая проходит перпендикулярно стержню через центр масс. Массы точек одинаковы и равны m.
Решение Найдем момент инерции одного шарика (J_1) относительно оси, находящейся от него на расстоянии r=\frac{l}{2}:

    \[J_1=m{\left(\frac{l}{2}\right)}^2=m\frac{l^2}{4}\]

Момент инерции второго шарика будет равен J_2\ \ и:

    \[J_2=J_1 \qquad (1.2)\]

Суммарный момент инерции системы равен сумме:

    \[J=J_1+J_2=m\frac{l^2}{2}\]

Ответ J=m\frac{l^2}{2}
ПРИМЕР 2
Задание Каков момент инерции физического маятника относительно оси, которая проходит через точку O (рис.1)? Ось перепендикулярна плоскости рисунка. Считайте, что физический маятник состоит из тонкого стержня длины l, имеющего массу m и диска массы m_1=0.5\ m. Диск прикреплен к нижнему концу стержня и имеет радиус равный R=\frac{l}{4}
Момент инерции тела, пример 1
Решение Момент инерции нашего маятника (J) будет равен сумме момента инерции стержня (J_1), вращающегося относительно оси, проходящей через точку О и диска (J_2), вращающегося вокруг той же оси:

    \[J=J_1+J_2 \qquad (2.1)\]

Если диск вращается относительно оси, перпендикулярной его плоскости и ось проходит через его центр масс, то момент инерции равен:

    \[J_{20}=\frac{m_1R^2}{2}=\frac{m_1{(\frac{l}{4})}^2}{2} \qquad (2.2)\]

Диск вращается относительно оси (см. рис.1), которая находится на расстоянии:

    \[a=\frac{2}{3}l+\frac{1}{4}l=\frac{11}{12}l \qquad(2.3)\]

Оси параллельны, тогда в соответствии с теоремой Штейнера:

    \[J_2=J_{20}+m_1a^2=\frac{m_1l^2}{32}+m_1{\left(\frac{11}{12}l\right)}^2={0,871m}_1l^2 \qquad (2.4)\]

Момент инерции стержня относительно оси, которая проходит через его центр масс (через середину в нашем случае) равен:

    \[J_{10}=\frac{1}{12}ml^2 \qquad (2.5)\]

По теореме Штейнера, если стержень вращается относительно точки О, то момент инерции равен:

    \[J_1=\frac{1}{12}ml^2+m{(\frac{l}{2}-\frac{l}{3})}^2=\frac{1}{9}ml^2\approx 0,111ml^2 \qquad (2.6)\]

Получаем, что:

    \[J=0,111ml^2+{0,871m}_1l^2=0,111ml^2+\frac{0,871ml^2}{2}=0,547ml^2\]

Ответ J=0,547ml^2
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.