Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Момент инерции кольца

В роль массы при вращательном движении (или движении материальной точки по окружности) выполняет момент инерции (J).

Если тело, которое нельзя считать материальной точкой, совершает вращение вокруг неподвижной оси, то момент инерции служит мерой инертности тела в этом движении. Для вычисления момента инерции такого тела его разбивают на частицы, которые можно принять за материальные точки (\triangle m_i- массы материальных точек), измеряют расстояния от каждой такой точки до оси вращения (r_i), момент инерции тела находят как:

    \[J=\sum^N_{i=1}{{\triangle m}_ir^2_i} \qquad (2)\]

где N – количество материальных точек, на которое разбито тело.

Если тело можно считать непрерывным (\triangle m_i\to 0) , то

    \[J=\int_m{r^2dm=\int_V{r^2}\rho dV} \qquad (3)\]

в выражении (3) интегрирование проводят по всему объему тела. Параметр r – функция расположения точки в пространстве; \rho – плотность тела; dV – элемент объема.

Момент инерции бесконечно тонкого кольца

Рассмотрим бесконечно тонкое кольцо имеющее радиус R, массу m, вращающееся вокруг оси, проходящей через его центр нормально плоскости кольца (рис.1) (ось X). Считаем, что масса распределена по кольцу равномерно.

Момент инерции кольца, рисунок 1

Для вычисления момента инерции воспользуемся формулой:

    \[J_x=\int_m{r^2dm}\]

где расстояния от любого элемента кольца равно его радиусу, то есть:

    \[r^2=R^2\  \qquad (4)\]

В таком случае момент инерции тонкого кольца равен:

    \[J_x=\int_m{R^2dm=R^2\int_m{dm}=mR^2}\]

    \[J_x=mR^2 \qquad (5)\]

Момент инерции тонкого кольца относительно оси AA' параллельной оси X, найдем, используя теорему Штейнера:

    \[J_{AA'}=J_x+mR^2\  \qquad (6)\]

условием применения теоремы Штейнера является параллельность осей X и AA', что выполняется в нашем случае. Расстояние между осями равно радиусу кольца. Получаем:

    \[J_{AA'}=mR^2+mR^2=2mR^2 \qquad (7)\]

Момент инерции толстого кольца

Рассмотрим однородное кольцо внешний радиус которого, равен R_2, внутренний радиус — R_1, масса этого кольца m.

Момент инерции кольца, рисунок 2

Разобьем это кольцо на тонкие кольца. Одно из таких колец показано на рис. 2 пунктиром, его радиус r. Момент инерции этого кольца относительно оси X равен:

    \[dJ=r^2dm \qquad (8)\]

где dm=\rho dV=2\pi \rho rhdr (h — высота кольца, если диск представляем как цилиндр малой высоты), тогда выражение (8) принимает вид:

    \[dJ=\rho r^32\pi hdr\  \qquad (9)\]

Момент инерции всего нашего толстого кольца найдем как:

    \[J=\int^{R_2}_{R_1}{\rho r^32\pi hdr=2\pi h\rho }\int^{R_2}_{R_1}{r^3dr=}\frac{1}{2}\pi h\rho \left(R^4_2-R^4_1\right)=\frac{1}{2}m\left(R^2_2+R^2_1\right) \qquad (10)\]

в формуле (10) мы учли, что объем нашего кольца равен:

    \[V=\pi h\left(R^2_2-R^2_1\right) \qquad (11)\]

соответственно масса кольца:

    \[m=\rho V=\rho \pi h\left(R^2_2-R^2_1\right)\  \qquad (12)\]

И так, получили, что момент инерции толстого кольца относительно оси вращения, проходящей через его центр, перпендикулярно плоскости кольца равен:

    \[J=\frac{1}{2}m\left(R^2_2+R^2_1\right)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Чему равен момент инерции кольца относительно оси (AA'), перпендикулярной плоскости кольца, касающейся внешнего его края (рис.3). Внешний радиус кольца равен R_2, внутренний радиус — R_1, масса кольца m.
Момент инерции кольца, пример 1
Решение За основу решения задачи можно принять теорему Штейнера, так как мы знаем, что момент инерции имеющегося у нас кольца относительно оси (OO'), которая приходит через центр кольца (J_0), перпендикулярно плоскости кольца равен:

    \[J_0=\frac{1}{2}m\left(R^2_2+R^2_1\right) \qquad (1.1)\]

Ось AA' параллельна оси OO', и находится от нее на расстоянии R_2, следовательно, по теореме Штейнера:

    \[J_{AA'}=J_0+mR^2_2\qquad (1.2)\]

Учитывая (1.1), окончательно получим:

    \[J_{AA'}=\frac{1}{2}m\left(R^2_2+R^2_1\right)+mR^2_2=\frac{3}{2}mR^2_2+\frac{1}{2}mR^2_1\]

Ответ J_{AA'}=\frac{3}{2}mR^2_2+\frac{1}{2}mR^2_1
ПРИМЕР 2
Задание Чему равны моменты инерции тонкого кольца массы m, радиуса R, относительно взаимно перпендикулярных осей Y и Z, нормальных к оси X (рис.4)?
Момент инерции кольца, пример 2
Решение Мы видим, что оси Y и Z лежат в плоскости кольца. В виду симметрии кольца моменты инерции относительно осей Y и Z равны:

    \[J_y=J_z\  \qquad (2.1)\]

Сумма моментов инерции тела по отношению к точке пересечения трех взаимно перпендикулярных осей ( у нас точка О) равна моменту инерции рассматриваемого тела относительно этой точки (\theta) умноженному на два:

    \[{J_x+J}_y+J_z=2\theta  \qquad (2.2)\]

Момент инерции кольца относительно его центра равен:

    \[\theta =mR^2 \qquad (2.3)\]

Получим, что:

    \[J_y=J_z=\frac{mR^2}{2}\ \]

Ответ J_y=J_z=\frac{mR^2}{2}
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.