Параллельное соединение конденсаторов

Имея в арсенале некоторый набор конденсаторов, можно существенно увеличить вариативность значений емкостей конденсаторов, если соединять их в батареи.

Параллельное соединение конденсаторов

Параллельное соединение конденсаторов — это соединение, при котором положительная обкладка одного конденсатора соединяется с положительной обкладкой другого конденсатора (рис.1).

Рис. 1

Получается, что одна обкладка каждого конденсатора в параллельном соединении обладает потенциалом потенциал ${\varphi}_1,$ а другая ${\varphi}_2$ . Получается, что каждая обкладка имеет суммарный заряд:

$q=\sum{q_i=\sum{C_i({\varphi}_1-{\varphi}_2)}}=({\varphi}_1-{\varphi}_2)\sum{C_i} \qquad (1)$

Разности потенциалов на обкладках всех конденсаторов при их параллельном соединении равны.

Емкость всего соединения конденсаторов найдем как:

$C=\frac{q}{\left({\varphi}_1-{\varphi}_2\right)} \qquad (2)$

Получаем, что при параллельном соединении конденсаторов суммарная емкость батареи равна сумме емкостей отдельных конденсаторов, ее составляющих:

$C=\sum{C_i} \qquad (3)$

Предельное напряжение параллельного соединения конденсаторов будет равно самой меньшей величине рабочего напряжения конденсатора, который входит в состав этого соединения.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Разность потенциалов между точками А и В равна U=10 В. Заряды на обкладках конденсаторов равны $q_1=10$ нКл и $q_2=15$ нКл. Чему равна емкость батареи из двух конденсаторов (рис.2)?

Параллельное соединение конденсаторов, пример 1

Рис. 2

Решение

Разности потенциалов на обоих конденсаторах при параллельном их соединении равны, то есть $U_1=U_2=U$ . Зная заряды на каждом из конденсаторов ( $q_1$ и $q_2$ ), найдем емкости. При этом емкость $C_1$ равна:

$C_1=\frac{q_1}{U} \qquad (1.1),$

а емкость $C_2$ вычисляется как:

$C_2=\frac{q_2}{U} \qquad (1.2),$

Суммарная емкость при параллельном соединении конденсаторов равна:

$C=C_1+C_2 \qquad (1.3)$

Используем выражения (1.1) и (1.2) имеем:

$C=\frac{q_1}{U}+\frac{q_2}{U}=\frac{q_1+q_2}{U}$

Прежде, чем провести вычисления переведем величины зарядов в систему СИ: $q_1=10$ нКл= $10\cdot {10}^{-9}$ Кл. $q_2=15$ нКл= $15\cdot {10}^{-9}$ Кл. Проведем вычисления:

$C=\frac{(10+15)\cdot {10}^{-9}}{10}=2,5\ \cdot {10}^{-9}\ (F)$

Ответ

С=2,5 нФ

ПРИМЕР 2

Задание

Конденсатор, который в качестве диэлектрика имеет воздух зарядили до разности потенциалов $U=600$ В и отсоединили от источника напряжения. К нему присоединили параллельно второй конденсатор, который был не заряжен. Второй конденсатор имел такие же формы и размер, что первый, но диэлектриком у него служил фарфор. Чему равна диэлектрическая проницаемость фарфора ( $\varepsilon$ ), если разность потенциалов уменьшилась до величины $U_1=100\ В?$

Решение

Емкость воздушного конденсатора C, тогда емкость конденсатора, параметры которого по условию задачи абсолютно аналогичны первому конденсатору, но имеющего другой диэлектрик ( $C'$ ) будет равна:

$C'=\varepsilon C \qquad (2.1)$

Заряд на первом конденсаторе был до соединения равен:

$q=UC \qquad (2.2)$

Так как по условию соединение конденсаторов параллельное, то после соединения емкость батареи ( $C''$ ) равна:

$C''=C'+C \qquad (2.3)$

Используя формулу (2.1) имеем:

$C''=(1+\varepsilon )C \qquad (2.4)$

Заряды на конденсаторах после соединения в батарею будут равны (учтем, что соединение параллельное и разности потенциалов на конденсаторах при параллельном соединении одинаковы и равны $U_1$ ):

$q_1=CU_1;\ \ q_2=C{'U}_1=\varepsilon CU_1 \qquad (2.5)$

Заряд системы, до соединения конденсаторов, равен заряду на воздушном конденсаторе q, так как второй конденсатор не заряжен. Заряд системы после соединения конденсаторов равна сумме зарядов на каждом из конденсаторов: $q_1+q_2$ . По закону сохранения заряда, так как система отсоединена от источника напряжения, имеем: