Соединение конденсаторов

Для получения большего спектра емкостей конденсаторы часто соединяют между собой, получают, так называемые батареи конденсаторов. Соединение при этом может быть параллельным, последовательным или комбинированным (смешанным). Рассмотрим случай с двумя конденсаторами.

Последовательное соединение конденсаторов

Последовательное соединение конденсаторов показано на рис. 1

Здесь (рис.1) обкладка одного конденсатора, имеющая отрицательный заряд соединяется с положительной обкладкой следующего конденсатора. При последовательном соединении средние пластины конденсаторов электризуются через влияние, следовательно, их заряды по величине равны и противоположны по знаку. Заряды на этих конденсаторах одинаковы. При этом соединении разности потенциалов складываются:

${\varphi}_1-{\varphi}_3=\left({\varphi}_1-{\varphi}_2\right)+\left({\varphi}_2-{\varphi}_3\right) \qquad (1)$

При этом имеем:

${\varphi}_1-{\varphi}_3=\frac{q}{C};\ \ {\varphi}_1-{\varphi}_2=\frac{q}{C_1};\ \ {\varphi}_2-{\varphi}_3=\frac{q}{C_2} \qquad (2)$

Получаем, что при последовательном соединении конденсаторов емкость соединения находят как:

$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \qquad (3)$

Обобщив формулу (3) для N конденсаторов, получаем:

$\frac{1}{C}=\sum^N_{i=1}{\frac{1}{C_i}} \qquad (4)$

где $C_i$ – электрическая емкость i-го конденсатора.

Последовательное соединение конденсаторов используют тогда, когда для избегания пробоя конденсатора необходимо разность потенциалов распределить между несколькими конденсаторами.

Параллельное соединение конденсаторов

Последовательное соединение конденсаторов показано на рис. 2

При параллельном соединении разности потенциалов между обкладками конденсаторов одинаковы. Суммарный заряд системы равен сумме зарядов на каждом из конденсаторов:

$q=q_1+q_2 \qquad (5)$

Из сказанного выше получим:

$C=\frac{q}{\varphi}=\frac{q_1+q_2}{{\varphi}_1-{\varphi}_2}=C_1+C_2 \qquad (6)$

Для батареи из N параллельно соединенных конденсаторов имеем:

$C=\sum^N_{i=1}{C_i} \qquad (7)$

Параллельное соединение конденсаторов используют тогда, когда необходимо увеличить емкость конденсатора.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Получите формулу для расчета емкости слоистого конденсатора.

Решение

Конденсатор, который называют слоистым, состоит из двух параллельных металлических обкладок, разделенных несколькими плоскими слоями разных диэлектриков (рис.3). Обозначим диэлектрические проницаемости слоев диэлектриков как ${\varepsilon}_1,\ {\varepsilon}_2,\ \dots \ {\varepsilon}_N$ . Будем считать, что соответствующая толщина слоя диэлектрика при этом: $d_1,\ d_2,\ \dots \ d_N$ .

Допустим, что между слоями диэлектриков вставлены очень тонкие листы из проводника. От такой процедуры заряды на обкладках конденсатора и напряженности полей в солях диэлектриков останутся неизменными. Останутся без изменений разности потенциалов между обкладками, следовательно, не изменится емкость конденсатора. Но, наличие тонких листов проводника превратит слоистый конденсатор в последовательное соединение конденсаторов.

Применим формулы емкости плоского конденсатора:

$C=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0S}{d} \qquad (1.1)$

и расчета емкости батареи последовательно соединенных конденсаторов:

$\frac{1}{C}=\sum^N_{i=1}{\frac{1}{C_i}} \qquad (1.2)$

получаем:

$\frac{1}{C}=\frac{1}{\varepsilon_0S}\left(\frac{d_1}{{\varepsilon}_1}+\frac{d_2}{{\varepsilon}_2}+\dots +\frac{d_N}{{\varepsilon}_N}\right)$

Ответ

$\frac{1}{C}=\frac{1}{{\varepsilon}_0S}\left(\frac{d_1}{{\varepsilon}_1}+\frac{d_2}{{\varepsilon}_2}+\dots +\frac{d_N}{{\varepsilon}_N}\right)$

ПРИМЕР 2

Задание

Какой будет емкость соединения конденсаторов (рис.4), если батарея составлена из одинаковых конденсаторов, емкость каждого из них равна $C_0$ Ф.

Решение

Емкость параллельного соединения конденсаторов обозначим как $C_{24}.$ Она равна:

$C_{24}=C_2+\ C_3+C_4 \qquad (2.1)$

Получим, что конденсаторы $C_1$ , и соединение $C_{24}$ (которое можно считать одним конденсатором имеющим емкость равную $C_{24}$ ), соединяют последовательно, следовательно, что суммарная емкость (C) находится как: