Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Последовательное соединение конденсаторов

Имея несколько конденсаторов с разными параметрами, можно существенно расширить количество возможных величин емкости и увеличить диапазон рабочего напряжения, соединяя конденсаторов в батареи.

Последовательное соединение конденсаторов, рисунок 1

Рис. 1

Последовательное соединение конденсаторов

При последовательном соединении конденсаторов обкладка «номер два» соединятся с первой обкладкой следующего конденсатора (рис.1). Получается, что соседние обкладки конденсаторов образуют единый проводник. На этом проводнике, при включении напряжения на батарее, появляются индуцированные заряды, равные по величине заряду на первой обкладке первого конденсатора и на второй обкладке 2-го конденсатора. Подобная ситуация справедлива для второй обкладки второго конденсатора и первой обкладке третьего и так далее. Получается, что для всех конденсаторов, которые включены последовательно, на обкладках находятся одинаковые заряды. При этом напряжение на каждом из конденсаторов равно:

    \[U_i=\frac{q}{C_i} \qquad (1), \]

U_i – напряжение на конденсаторе номер i, емкость которого C_i. Суммарное напряжение равно разности потенциалов, которая приложена к соединению:

    \[{\varphi}_1-{\varphi}_2=\sum^N_{i=1}{U_i=}\sum^N_{i=1}{\frac{q}{C_i}=}q\sum^N_{i=1}{\frac{1}{C_i}} \qquad (2) \]

Из формулы (2) получается, что электрическая емкость последовательного соединения конденсаторов может быть вычислена по формуле:

    \[\frac{1}{C}=\sum^N_{i=1}{\frac{1}{C_i}} \qquad (3) \]

Выражение (3) показывает, что при последовательном соединении конденсаторов складывают величины обратные емкостям отдельных конденсаторов. В соответствии с формулой (2) часть суммарного напряжения, которая приходится на рассматриваемый конденсатор, является величиной, обратной его емкости. Следовательно, необходимо, чтобы ни на какой из конденсаторов ни падало напряжение, которое превышает его максимально возможное.

При равенстве емкостей (C_1) всех конденсаторов в последовательном соединении, и одинаковом предельном напряжении для них всех (U_{max}) емкость батареи составляет:

    \[C=\frac{1}{N}C_1 \qquad (4) \]

Предельное напряжение батареи:

    \[{(U_{max})}_{bat}=NU_{max} \qquad (5) \]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Какими будут заряды на каждом из конденсаторов при их соединении, указанном на рис.2.C_1=3мкФ, C_1=6мкФ. Разность потенциалов между точками А и В равна U=9 B.
Последовательное соединение конденсаторов, пример 1

Рис. 2

Решение Если разность потенциалов на первом конденсаторе равна U_1, на втором — U_2, то разность потенциалов между точками А и В равна:

    \[U_1+U_2=U \qquad (1.1) \]

При последовательном соединении конденсаторов, на каждом из них заряды одинаковы:

    \[q=q_1=q_2 \qquad (1.2) \]

По определению емкости:

    \[C=\frac{q}{U} \qquad (1.3) \]

Емкость первого конденсатора равна:

    \[C_1=\frac{q}{U_1} \qquad (1.4) \]

Емкость второго конденсатора:

    \[C_2=\frac{q}{U_2} \qquad (1.5) \]

Выразим заряд q из (1.4) и (1.5), в соответствии с (1.2),имеем:

    \[C_1U_1=C_2U_2\to U_2=\frac{C_1}{C_2}U_1 \qquad (1.6) \]

Подставим U_2 из (1.6) в выражение (1.1):

    \[U_1+\frac{C_1}{C_2}U_1=U \qquad (1.7) \]

Из формулы (1.7) получим U_1:

    \[U_1=\frac{{UC}_2}{C_1+C_2} \qquad (1.8) \]

Найдем искомые заряды:

    \[q_1=q_2=C_1U_1=C_1\frac{{UC}_2}{C_1+C_2}\]

Вычислим искомые заряды:

    \[q_1=q_2=\frac{9\cdot 3\cdot 6\cdot {10}^{-12}}{(3+6)\cdot {10}^{-6}}=18\ \cdot {10}^{-6}\ (Kl)\]

Ответ q_1=q_2=18 мкКл
ПРИМЕР 2
Задание Два конденсатора соединены последовательно. Емкость батареи составляет С={10}^{-10}Ф. Заряд на конденсаторах батареи q=2\cdot {10}^{-8}Кл. Какова емкость второго конденсатора, если емкость первого равна C_1=2\cdot {10}^{-10}Ф. Чему равна разность потенциалов на каждом конденсаторе?
Решение При последовательном соединении:

    \[q=q_1=q_2 \qquad (2.1) \]

При последовательном соединении конденсаторов емкость батареи (C) равна:

    \[\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2} \qquad (2.2) \]

Выразим емкость второго конденсатора:

    \[C_2=\frac{CC_1}{C_1-C} \qquad (2.3) \]

Разность потенциалов на первом конденсаторе равна (U_1):

    \[U_1=\frac{q}{C_1} \qquad (2.4) \]

Разность потенциалов на втором конденсаторе (U_2):

    \[U_2=\frac{q}{C_2}\]

Проведем вычисления:

    \[C_2=\frac{{10}^{-10}\cdot 2\cdot {10}^{-10}}{2\cdot {10}^{-10}-{10}^{-10}}=2\cdot {10}^{-10}\ \left(F\right)\]

    \[U_1=\frac{2\cdot {10}^{-8}}{2\cdot {10}^{-10}}=100\ \left(B\right)\]

    \[U_2=\frac{2\cdot {10}^{-8}}{2\cdot {10}^{-10}}=100\ \left(B\right)\]

Ответ C_2=2\cdot {10}^{-10} Ф; U_1=100 В; U_2= 100 В
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.