Относительная деформация

Изменение размеров, объема и возможно формы тела, при внешнем воздействии на него, называют в физике деформацией. Тело деформируется при растяжении, сжатии или (и), при изменении его температуры.

Деформация появляется тогда, когда разные части тела совершают разные перемещения. Так, например, если резиновый шнур тянуть за концы, то разные его части сместятся относительно друг друга, и шнур окажется деформированным (растянется, удлинится). При деформации изменяются расстояния между атомами или молекулами тел, поэтому возникают силы упругости.

Пусть прямой брус, длиной $l$ и, имеющий постоянное сечение, закреплен одним концом. За другой конец его растягивают, прикладывая силу $\overline{F}$ (рис.1). При этом тело удлиняется на величину $\Delta l$ , которую называют абсолютным удлинением (или абсолютной продольной деформацией).

В любой точке рассматриваемого тела имеется одинаковое напряженное состояние. Линейную деформацию ( $\varepsilon$ ) при растяжении и сжатии подобных объектов называют относительным удлинением (относительной продольной деформацией):

$\varepsilon =\frac{\Delta l}{l} \qquad (1)$

Относительная продольная деформация

Относительная продольная деформация – величина безразмерная. Как правило относительное удлинение много меньше единицы ( $\varepsilon \ll 1$ ).

Деформацию удлинения обычно считают положительной, а деформацию сжатия отрицательной.

Если напряжение в брусе не превышает некоторого предела, экспериментально установлена зависимость:

$\varepsilon =\frac{F_p}{ES} \qquad (2)$

где $F_p$ – продольная сила в поперечных сечениях бруса; S – площадь поперечного сечения бруса; E – модуль упругости (модуль Юнга) – физическая величина, характеристика жёсткости материала. Принимая о внимание то, что нормальное напряжение в поперечном сечении ( $\sigma$ ):

$\sigma =\frac{F_p}{S} \qquad (3)$

получим:

$\varepsilon =\frac{\sigma}{E} \qquad (4)$

Абсолютное удлинение бруса можно выразить как:

$\Delta l=\varepsilon l=\frac{F_p}{ES}l \qquad (5)$

Выражение (5) является математической записью закона Р. Гука, который отражает прямую зависимость между силой и деформацией при небольших нагрузках.

В следующей формулировке, закон Гука используется не только при рассмотрении растяжения (сжатия) бруса: Относительная продольная деформация прямо пропорциональна нормальному напряжению.

Относительная деформация при сдвиге

При сдвиге относительную деформацию характеризуют при помощи формулы:

$\text{tg}\ \gamma =\frac{\Delta s}{h} \qquad (6)$

где $\text{tg}\ \gamma$ – относительный сдвиг; $\Delta s$ – абсолютный сдвиг слоев параллельных по отношению друг к другу; h — расстояние между слоями; $\gamma$ – угол сдвига.

Закон Гука для сдвига записывают как:

$\Delta s=\frac{Fh}{GS} \qquad (7)$

где G – модуль сдвига, F – сила, вызывающая сдвиг, параллельная сдвигающимся слоям тела.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Каково относительное удлинение стального стержня, если его верхний конец закреплен неподвижно (рис.2)? Площадь поперечного сечения стержня $S=0,0004\ m^2$ . К нижнему концу стержня прикреплен груз массой $m=2000$ кг. Считайте, что собственная масса стержня много меньше, чем масса груза.

Решение

Сила, которая заставляет стержень растягиваться, равна силе тяжести груза, который находится на нижнем конце стержня. Эта сила действует вдоль оси стержня. Относительное удлинение стержня найдем как:

$\varepsilon =\frac{F_p}{ES}=\frac{mg}{ES} \qquad (1.1)$

где $F_p=mg$ . Прежде чем проводить расчет, следует найти в справочниках модуль Юнга для стали. $E=2\cdot {10}^{11}$ Па.

$\varepsilon =\frac{2000\cdot 9,8}{2\cdot {10}^{11}\cdot 0,0004}=2,46\cdot {10}^{-4}$

Ответ

$\varepsilon =2,46\cdot {10}^{-4}$

ПРИМЕР 2

Задание

Нижнее основание металлического параллелепипеда с основанием в виде квадрата со стороной a и высотой h закреплено неподвижно. На верхнее основание параллельно основанию действует сила F (рис.3). Какова относительная деформация сдвига ( $\gamma$ )? Модуль сдвига (G) считайте известным.