Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Деформация твердого тела

Главным отличием твердого тела от жидкостей и газов является его способность сохранять форму, если на тело не действуют слишком большие силы. Если попытаться деформировать твердое тело возникают силы упругости, которые препятствуют деформации.

Определения деформации твердого тела

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Деформацией называют внешнее механическое воздействие на тело, которое приводит к изменению его объема и (или) формы.

Деформация в твердом теле называется упругой, если она пропадает после того, как нагрузку с тела сняли.

Деформация называется пластической (остаточной), если после снятия нагрузки она не исчезает или исчезает не полностью.

Одни и те же тела могут быть упругими и пластичными, это зависит от характера деформации. Так при увеличении нагрузки свыше некоторого предела упругие деформации могут переходить в пластические.

Виды деформации твердых тел

Любые деформации твердого тела можно свести к двум типам: растяжению (сжатию) и сдвигу.

Один конец стержня закрепим, а к другому приложим силу \overrightarrow{F}, направленную вдоль его оси, в сторону от его конца. В таком случае стержень будет подвергнут деформации растяжения. Такую деформацию характеризуют при помощи абсолютного удлинения (\Delta l), которое равно:

    \[\Delta l=l-l_0 \qquad (1)\]

где l_0 – длина стержня до воздействия на него силы; l – длина растянутого стержня.

Часто применяют для характеристики деформации тела относительное удлинение (\varepsilon):

    \[\varepsilon =\frac{\Delta l}{l_0} \qquad (2)\]

Если \left|\Delta l\right|\ll l_0, то такая деформация считается малой. У большинства твердых тел при малых деформациях проявляются упругие свойства.

Если на стержень, конец которого закреплен воздействовать с силой вдоль его оси, но по направлению к концу стержня, то данное тело будет испытывать деформацию сжатия.

При растяжении считают, что \varepsilon >0, при сжатии \varepsilon <0.

При деформации растяжения и сжатия площадь поперечного сечения тела изменяется. При растяжении уменьшается, при сжатии увеличивается. Однако, при небольших деформациях данным эффектом, обычно пренебрегают.

Деформацией сдвига называют такой вид деформации, при котором происходит взаимное смещение параллельных слоев материала под воздействием деформирующих сил. Рассмотрим параллелепипед из резины, закрепим его нижнее основание на горизонтальной поверхности. К верхней грани бруска приложим силу, параллельную верхней грани. При этом слои бруска сдвинутся, оставаясь параллельными, вертикальные грани параллелепипеда будут оставаться плоскими, отклонятся от вертикали на некоторый угол \gamma.

Закон Гука

При небольших деформациях растяжения (сжатия) между деформирующей силой (F) и абсолютным удлинением \Delta l P. Гуком была установлена связь:

    \[F=k\Delta l \qquad (3)\]

где k – коэффициент упругости (жесткость).

Закон Гука часто записывают иначе. При этом вводится понятие напряжения (\sigma):

    \[\sigma =\frac{F}{S} \qquad (4)\]

где S – площадь поперечного сечения тела (стержня). При небольших деформациях напряжение прямо пропорционально относительному удлинению:

    \[\sigma =E\varepsilon \qquad (5)\]

где E – модуль упрости или модуль Юнга, который равен напряжению, появляющемуся в стержне, если его относительное удлинение равно единице (или E=\sigma при двойном удлинении длины тела). На практике кроме резины при упругой деформации двойного удлинения невозможно достичь, тело рвется. Модуль Юнга определяют при помощи выражения (5), в измерениях напряжения и относительного удлинения.

Коэффициент упругости и модуль Юнга связаны как:

    \[k=\frac{SE}{l_0} \qquad (6)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Стена высотой h=20м построена из кирпича плотностью \rho =1800\ \frac{kg}{m^3}. Каково напряжение у основания этой стены?
Решение В нашей задаче деформирующей силой являются сила тяжести, которая сжимает стену:

    \[\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{g} \qquad (1.1)\]

Зная плотность кирпича, из которого сложена, стена массу найдем как:

    \[m=\rho V=\rho hS \qquad (1.2)\]

где S площадь основания стены.

Деформация твердого тела, пример 1

По определению напряжение (\sigma) равно отношению величины силы деформации (F) к площади сечения деформируемого тела:

    \[\sigma =\frac{F}{S}=\frac{mg}{S} \qquad (1.3)\]

Подставим вместо массы правую часть выражения (1.2), получим:

    \[\sigma =\frac{\rho hSg}{S}=\rho hg\]

Проведем вычисления:

    \[\sigma =1800\cdot 20\cdot 9,8=3,528\cdot {10}^5\ \left(Pa\right)\]

Ответ \sigma =3,528\cdot {10}^5Па
ПРИМЕР 2
Задание Тело, изготовленное из материала, плотность которого (\rho) меньше плотности воды, удерживает под водой пружина (рис.2). Какова величина растяжения пружины под водой (x_2), если то же самое тело в воздухе растягивает его на величину удлинения равную x_1? Плотность воды считать равной {\rho}_v. Объем пружины не учитывать.
Решение Сделаем рисунок.
Деформация твердого тела, пример 2

Будем считать, что наше тело маленький шарик. На шарик в состоянии затопления (рис.2) действуют сила Архимеда ({\overrightarrow{F}}_A); сила тяжести (m\overrightarrow{g}) и сила упругости пружины ({\overrightarrow{F}}_{upr}). Шарик находится состоянии покоя, значит, второй закон Ньютона запишем как:

    \[{\overrightarrow{F}}_A+m\overrightarrow{g}+{\overrightarrow{F}}_{upr}=0 \qquad (2.1)\]

В проекции на ось Y, получим:

    \[mg+F_{upr}=F_A \qquad (2.2)\]

Массу шарика выразим как:

    \[m=\rho V \qquad (2.3)\]

Сила Архимеда равна:

    \[F_A={\rho}_vgV \qquad (2.4)\]

Сила упругости:

    \[F_{upr}=kx_2 \qquad (2.5)\]

Подставим правые части формул (2.3) – (2.5) в выражение (2.2), получим:

    \[\rho Vg+kx_2=\rho_vgV\ \to kx_2=\rho_vgV-\rho Vg \qquad (2.6)\]

В том случае, если шарик висит воздухе на пружине, то сила упругости уравновешена силой тяжести:

    \[mg=kx_1\to kx_1=\ \rho Vg \qquad (2.7)\]

Разделим левую часть уравнения (2.6) на левую часть(2.7), аналогично разделим правые части:

    \[\frac{kx_2}{kx_1}=\frac{{\rho}_vgV-\rho Vg}{\rho Vg}\to \frac{x_2}{x_1}=\frac{{\rho}_v-\rho}{\rho}\to x_2=\frac{{\rho}_v-\rho}{\rho}x_1\]

Ответ x_2=\frac{{\rho}_v-\rho}{\rho}x_1
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.