Конденсаторы

Для того чтобы уединенный проводник имел большую емкость, он должен обладать большими размерами. В жизни требуются тела малых и очень малых размеров, которые могли бы накопить существенный заряд, при небольших потенциалах (относительно других тел), то есть иметь большую емкость. Такие устройства называют конденсаторами.

Определение конденсатора

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Конденсатором назвали совокупность двух проводников, которые имеют заряды равные по модулю и противоположные по знаку.

Причем проводники (обкладки конденсатора) должны иметь такую форму и быть расположены так по отношению друг к другу, что поле, создаваемое данной системой, было в основном расположено в ограниченной области пространства.

Основной характеристикой конденсатора служит электроемкость (C). Электрическая емкость конденсатора – это взаимная емкость принадлежащих ему обкладок:

$C=\frac{q}{{\varphi}_1-{\varphi}_2}=\frac{q}{U} \qquad (1),$

q – величина заряда на обкладке; ${\varphi}_1-{\varphi}_2$ – разность потенциалов между обкладками.

Формулы емкости основных типов конденсаторов

Емкость конденсатора зависит от формы, размеров, расположения обкладок и диэлектрической проницаемости диэлектрика ( $\varepsilon$ ), который находится между обкладками.

Плоский конденсатор имеет обкладки в виде плоских проводящих пластин, разделенных слоем диэлектрика. Его емкость рассчитывают в соответствии с формулой:

$C=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0S}{d} \qquad (2),$

где ${\varepsilon}_0$ – электрическая постоянная; S – площадь каждой (или наименьшей) пластины; d – расстояние между пластинами.

Цилиндрический конденсатор представляется собой две соосных (коаксиальных) цилиндрические проводящие поверхности, разного радиуса, пространство между которыми заполняет диэлектрик. Электрическая емкость цилиндрического конденсатора вычисляют как:

$C=\frac{2\pi \varepsilon {\varepsilon}_0l}{ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)} \qquad (3),$

где l – высота цилиндров; $R_2$ – радиус внешней обкладки; $R_1$ – радиус внутренней обкладки. По формуле (3) вычисляют емкость коаксиального кабеля.

Сферическим конденсатором называют конденсатор, обкладками которого являются две концентрические сферические проводящие поверхности, пространство между ними заполнено диэлектриком. Емкость такого конденсатора находят как:

$C=\frac{4\pi \varepsilon {\varepsilon}_0R_1R_2}{R_2-R_1} \qquad (4),$

где $R_1{;\ R}_2$ – радиусы обкладок конденсатора. В том случае, если $R_2-R_1\ll R_1$ , то можно считать, что $R_2\approx R_1\approx R$ , тогда, мы имеем:

$C=\frac{4\pi \varepsilon {\varepsilon}_0R^2}{R_2-R_1} \qquad (5),$

так как $4\pi R^2$ – площадь поверхности сферы, и если обозначить $R_2-R_1=d$ , то получим формулу для емкости плоского конденсатора. При малой величине зазора между обкладками сферического и цилиндрического конденсаторов (в сравнении с их радиусами), можно перейти к расчету емкости при помощи выражения для плоского конденсатора.

Электрическую емкость для линии из двух проводов находят как:

$C=\frac{\pi \varepsilon {\varepsilon}_0l}{ln\left(\frac{d-R}{R}\right)} \qquad (6),$

где d – расстояние между осями проводов; R – радиус проводов; l – длина линии.

Еще одной важной характеристикой конденсатора является пробивное напряжение. Пробивное напряжение – это такая разность потенциалов между обкладками конденсатора, при которой происходит пробой диэлектрика. Эта величина зависит от толщины, свойств и формы диэлектрика, расположенного между обкладками конденсатора.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Поверхностная плотность заряда на пластинах плоского конденсатора составляет $\sigma(\frac{Kl}{m^2})$ , расстояние между пластинами равно d (м). Пространство между обкладками конденсатора заполнено диэлектриком с диэлектрической проницаемостью $\varepsilon$ . Какова разность потенциалов между обкладками ${\varphi}_1-{\varphi}_2$ ?

Решение

За основу решения задачи примем формулу электрической емкости:

$C=\frac{q}{{\varphi}_1-{\varphi}_2} \qquad (1.1),$

q – величина заряда на обкладке; ${\varphi}_1-{\varphi}_2$ – разность потенциалов между обкладками.

Заряд на пластинах конденсатора распределен равномерно, следовательно, можно считать, что:

$q=\sigma S \qquad (1.2)$

По условию задачи мы имеем дело с плоским конденсатором, значит:

$C=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0S}{d} \qquad (1.3)$

Вместо емкости в выражение (1.1) подставим правую часть (1.3), вместо заряда правую часть (1.2), имеем:

$\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0S}{d}=\frac{\sigma S}{{\varphi}_1-{\varphi}_2}\to {\varphi}_1-{\varphi}_2=\frac{\sigma Sd}{\varepsilon {\varepsilon}_0S}=\frac{\sigma d}{\varepsilon {\varepsilon}_0}$

Ответ

${\varphi}_1-{\varphi}_2=\frac{\sigma d}{\varepsilon {\varepsilon}_0}$

ПРИМЕР 2

Задание

Какова электрическая емкость коаксиального кабеля, длина которого 10 м, радиус его центральной жилы $R_1=0,01$ м, радиус оболочки $R_2=0,015$ м. Диэлектриком служит резина ( $\varepsilon =2,5$ ).

Решение

Сделаем рисунок.

Рис. 1

Коаксиальный кабель изображен на рис.1. Его в соответствии с его структурой можно считать цилиндрическим конденсатором. Емкость цилиндрического конденсатора, с которым мы имеем дело в нашей задаче, определена выражением:

$C=\frac{2\pi \varepsilon {\varepsilon}_0l}{ln\left(\frac{R_2}{R_1}\right)}$

Следовательно, можно перейти к вычислениям:

$C=\frac{2\pi \cdot 2,5\cdot 8,85\cdot {10}^{-12}\cdot 10}{ln\left(\frac{0,015}{0,01}\right)}\approx 3,43\cdot {10}^{-9}\ (F)$

Ответ

$C=3,43\cdot {10}^{-9}$ Ф

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Конденсаторы

Определение конденсатора

Формулы емкости основных типов конденсаторов

Примеры решения задач