График адиабатического процесса

Определение адиабатического процесса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Если термодинамический процесс происходит без обмена теплотой с окружающей средой, то его называют адиабатическим.

Этот процесс является идеализированным, однако процессам близкими к адиабатическим можно считать процессы, которые проводят с высокой скоростью.

Уравнение, описывающее течение адиабатического процесса в идеальном газе получают, например, из первого начала термодинамики. В параметрах $p\left(V\right)$ (давление, объем) оно имеет вид:

$pV^{\gamma }=const\ ; \ p_1{V_1}^{\gamma }=p_2{V_2}^{\gamma } \qquad (1)$

где $\gamma =\frac{i+2}{i}$ – показатель адиабаты; $i$ – число степеней свободы молекулы идеального газа.

В параметры p (T) или V(T) выражения (2) легко перевести, применяя уравнение состояния идеального газа, тогда уравнение адиабатического процесса записывается как:

$TV^{\gamma -1}=const$

или

$\frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\ \qquad (2)$

$pT^{\frac{\gamma }{1-\gamma }}=const$

или

$\frac{T_2}{T_1}={\left(\frac{p_2}{p_1}\right)}^{\frac{\gamma -1}{\gamma }} \qquad (3)$

График адиабатического процесса

Линии, которые изображают на термодинамической диаграмме адиабатический процесс, называют адиабатами. Зная уравнение адиабатического процесса можно изобразить его диаграмму (начертить график процесса, изобразить адиабату) (рис.1) для параметров $p\left(V\right)$ .

Используя уравнения (2) получим графическое изображение адиабатического процесса в виде рис.2.

Для уравнения (3) адиабата представлен на рис.3.

Адиабатный процесс еще называют изоэнтропийным процессом, так как в этом процессе энтропия идеального газа не изменяется:

$\triangle S=0; \ S=const\ \qquad (1)$

Тогда на диаграмме $S(T)$ адиабату изображают как на рис.4

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

На рис. 5 изображены адиабата и изотерма для одного и того же идеального газа. Объясните, почему адиабата идет более круто, чем изотерма?

Решение

Запишем уравнение изотермического процесса как:

$pV=const\ \qquad (1.1)$

Уравнение адиабаты в таких же параметрах имеет вид:

$pV^{\gamma }=const\ \qquad (1.2)$

где коэффициент Пуассона $\gamma =\frac{i+2}{i}=1+\frac{2}{i}$ – величина, большая единицы, следовательно, с ростом объема давление при адиабатическом процессе падает быстрее. При адиабатическом сжатии, например, давление газа увеличивается не только тем, что уменьшается его объем, но еще повышается температура газа. При изотермическом сжатии давление газа растет только из-за уменьшения объема, при постоянной температуре.

ПРИМЕР 2

Задание

Идеальный газ совершает цикл, который изображен на рис. 6. В изобарном процессе (1-2) газ нагревают от $T_1$ до $T_2$ . Каков термический КПД ( $\eta$ ) процесса?

Решение

Исходя из рис.6 мы получаем, что цикл состоит из процессов:

1-2 изобарное расширение, в котором газу подводят тепло ( $Q_{12}$ );

1-3 адиабатическое расширение;

3-1 изотермическое сжатие, отвод тепла ( $Q_{31}$ ).

Формулу для вычисления КПД цикла запишем как:

$\eta =\frac{Q_{12}-Q_{31}}{Q_{12}} \qquad (2.1)$

Количество теплоты, получаемое газом в изобарном процессе, найдем из первого начала термодинамики:

$Q_{12}=A_{12}+\triangle U_{12}=\nu \frac{i+2}{2}R\left(T_2-T_1\right) \qquad (2.2)$

Количество теплоты, которое рабочее тело отдает холодильнику в процессе изотермического сжатия, найдем, также из первого начала термодинамики:

$Q_{31}=A_{31}+\triangle U_{31}=A_{31}\ \qquad (2.3)$

где учтено, что в изотермическом процессе внутренняя энергия газа не изменяется.

Найдем работу, которую совершают над газом в процессе 3-1, опираясь на определение работы в термодинамике:

$A=\int^{V_3}_{V_1}{pdV} \qquad (2.4)$

Используя уравнение состояния газа, выразим давление:

$pV=\nu RT\to p=\frac{\nu RT}{V}\ \qquad (2.5)$

Тогда работа в изотермическом процессе равна:

$A_{31}=\int^{V_3}_{V_1}{\frac{\nu RT_1}{V}dV=\nu RT_1 \ln\left(\frac{V_3}{V_1}\right)=\nu RT_1\frac{i+2}{2}{\ln (\frac{T_2}{T_1})}} \qquad (2.6)$

Для преобразования выражения (2.6) использовано уравнение адиабатического процесса и закон Гей-Люссака. Получаем, что:

$Q_{31}=\nu RT_1\frac{i+2}{2}{\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)} \qquad (2.7)$

Тогда КПД цикла равно:

$\eta =\frac{\nu \frac{i+2}{2}R\left(T_2-T_1\right)-\nu RT_1\frac{i+2}{2}{\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)}}{\nu \frac{i+2}{2}R\left(T_2-T_1\right)}=\frac{\left(T_2-T_1\right)-T_1{\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)}}{\left(T_2-T_1\right)}$

Ответ

$\eta =\frac{\left(T_2-T_1\right)-T_1{\ln \left(\frac{T_2}{T_1}\right)}}{\left(T_2-T_1\right)}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

График адиабатического процесса

Определение адиабатического процесса

График адиабатического процесса

Примеры решения задач