Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Адиабатический процесс

Определение и основные понятия адиабатического процесса

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Адиабатическим называют процесс, при котором нет теплообмена рассматриваемой системы и окружающей среды.

К адиабатическим часто относят процессы, которые происходят с большой скоростью. Адиабатические процессы используют, например, в двигателях внутреннего сгорания, в холодильных приборах. Рассмотрим адиабатический процесс в идеальном газе. Запись первого начала термодинамики для адиабатического процесса выглядит как:

    \[\delta A=-dU\ \qquad (1),\]

что означает: работа совершается за счет изменения внутренней энергии системы. Используя определение работы в термодинамическом процессе:

    \[\delta A=pdV\ \qquad (2),\]

где p – давление в термодинамической системе; dV – малое изменение объема системы. И определение внутренней энергии:

    \[dU=\frac{i}{2}R\frac{m}{\mu }dT\ \qquad (3),\]

где i – число степеней свободы молекулы; m – масса; \mu – молярная масса вещества; R – универсальная газовая постоянная; dT – элементарное изменение температуры.

Подставив (2) и (3) в первое начало термодинамики для адиабатного процесса, получим:

    \[pdV=-\frac{i}{2}\frac{m}{\mu}RdT\ \to dT=-\frac{2\mu pdV}{i\cdot m\cdot R} \qquad (4)\]

Состояние идеального газа можно описывать при помощи уравнения Менделеева – Клапейрона:

    \[pV=\frac{m}{\mu }RT \qquad (5)\]

Продифференцируем (5), получим:

    \[pdV+Vdp=\frac{m}{\mu }RdT\ \qquad (6)\]

Уравнение адиабатического процесса

Подставим вместо dT в формулу (6) правую часть выражения (4):

    \[pdV+Vdp=-\frac{m}{\mu }R\frac{2\mu pdV}{i\cdot m\cdot R}=-\frac{pdV}{i}\to \frac{pdV+Vdp}{pdV}=-\frac{2}{i}\to \frac{dp}{p}=-\gamma \frac{dV}{V} \qquad (6),\]

где для идеального газа \gamma =\frac{2+i}{i} – показатель адиабаты (или коэффициент Пуассона). Из полученного дифференциального уравнения имеем:

    \[pV^{\gamma }=const\ \qquad (7)\]

Уравнение (7) называют уравнением адиабатического процесса (уравнением адиабаты, уравнением Пуассона). Уравнение адиабаты можно легко получить в других параметрах: (p (T) или V(T)). Диаграмма адиабатического процесса в осях p(V) отображается гиперболой.

Адиабатический процесс как и изохорный, изобарный и изотермический процессы происходят при постоянной теплоемкости. В адиабатном процессе теплоемкость равна нулю.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание На диаграмме p(V) изображены: изотерма и адиабата. Объясните, где какой процесс изображен?
Адиабатический процесс, пример 1

Рис. 1

Решение Уравнение адиабаты в параметрах p(V) задается как:

    \[pV^{\gamma }=const\ \qquad (1.1),\]

где \gamma =\frac{2+i}{i}>1.

Уравнение изотермы (T=const) задает закон Бойля – Мариотта:

    \[pV=const\ \qquad (1.2)\]

Из сравнения уравнений (1.1) и (1.2) очевидно, что адиабата идет круче, чем изотерма. Это объясняется тем, что при адиабатическом сжатии давление увеличивается не только в следствии уменьшения объема, как при изотермическом процессе, но и увеличением температуры.

Ответ Кривая 1 – изотерма; кривая 2 – адиабата.
ПРИМЕР 2
Задание \nu молей идеального газа расширяется в адиабатном процессе от объема V_1 до объема V_2. Считая число степеней свободы молекулы газа равной i определите, какую работу (A) совершает газ в таком расширении. Начальная температура газа равна T_1.
Решение В качестве основы для решения задачи используем первое начало термодинамики для адиабатного процесса:

    \[\delta A=-\frac{i}{2}\frac{m}{\mu }RdT \qquad (2.1)\]

При адиабатном расширении от объема V_1 до объема V_2 температура газа уменьшается от T_1 до T_2, тогда полную работу в процессе найдем как:

    \[A=-\frac{i}{2}\frac{m}{\mu }R\int^{T_2}_{T_1}{dT}=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu }R(T_1-T_2) \qquad (2.2)\]

Адиабатный процесс задан уравнением:

    \[pV^{\gamma }=const\ \qquad (2.3)\]

Нам, для решения задачи, будет удобнее использовать уравнение адиабатического процесса в параметрах T и V. Для исключения давления из (2.3) используют уравнение Менделеева – Клапейрона:

    \[pV=\frac{m}{\mu }RT\to p=\frac{m}{\mu }\frac{RT}{V} \qquad (2.4)\]

Подставим вместо давления в (2.3) правую часть выражения (2.4), тогда уравнение адиабатического процесса в параметрах T \left(V\right) имеет вид:

    \[TV^{\gamma -1}=const\ \qquad (2.5)\]

Тогда для наших двух состояний можно записать:

    \[T_1V^{\gamma -1}_1=T_2V^{\gamma -1}_2 \qquad (2.6)\]

Выразим температуру T_2, получаем:

    \[T_2=\frac{T_1V^{\gamma-1}_1}{V^{\gamma-1}_2} \qquad (2.7)\]

Подставим T_2 в формулу (2.2), тогда работа газа будет равна:

    \[A=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu }RT_1\left(1-\frac{V^{\gamma -1}_1}{V^{\gamma -1}_2}\right)\]

Ответ A=\frac{i}{2}\frac{m}{\mu }RT_1\left(1-{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}\right)
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.