Энергия конденсатора

Определение и общие сведения о энергии конденсатора

В том случае, если обкладки заряженного конденсатора замыкают при помощи проводника, то в проводнике появляется электрический ток, и через некоторое время конденсатор разряжается. При прохождении тока по проводнику выделяется некоторое количество теплоты, следовательно, конденсатор, обладающий зарядом, имеет энергию.

Определим энергию заряженного конденсатора. Будем считать, что конденсатор заряжают и этот процесс происходит очень медленно. Мгновенное значение напряжения между его обкладками обозначим как u. Так как процесс зарядки считаем квазистатическим, между обкладками увеличивается бесконечно медленно. Тогда потенциал каждой обкладки в каждый момент времени можно считать одинаковым в любом месте обкладки. При увеличении заряда обкладки на величину dq, совершается внешняя работа (работа источника) равная $\delta A$ :

$\delta A=udq \qquad (1)$

Используем формулу, которая связывает заряд, емкость и напряжение, получим:

$dq=Cdu\to \delta A=Cudu\ (2)$

В том случае, если емкость не зависит от напряжения электрического поля, то работа $\delta A$ идет на увеличение энергии конденсатора (dW). Проинтегрируем выражение (2), учитывая, что напряжение изменяется от 0 до величины U, имеем:

$W=A=C\int^U_0{udu}=\frac{CU^2}{2} \qquad (3)$

Применяя формулу:

$q=CU \qquad (4)$

выражение для энергии поля конденсатора можно преобразовать к виду:

$W=\frac{CU^2}{2}=\frac{qU}{2}=\frac{q^2}{2C} \qquad (5)$

Именно благодаря своей способности запасать энергию, конденсаторы имеют большое значение в радиотехнике и электронике.

Энергия поля плоского конденсатора

Напряжение между обкладками плоского конденсатора может быть найдено как:

$U=Ed \qquad (6)$

где d — расстояние между пластинами конденсатора. Учитывая, что для плоского конденсатора емкость определена выражением:

$C=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0S}{d} \qquad (7)$

имеем:

$W_p=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0E^2}{2}Sd=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0E^2}{2}V \qquad (8)$

где $Sd=V$ – объем конденсатора; E – напряженность электрического поля в конденсаторе. Объемная плотность энергии (w) может быть найдена как:

$w=\frac{W}{V}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0E^2}{2}=\frac{ED}{2} \qquad (9)$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Напряжение между обкладками плоского конденсатора равна $U={10}^3$ В, $d=0,01$ м. Пространство между пластинами конденсатора заполняет стекло. Какова объемная плотность энергии такого конденсатора (w)?

Решение

Величина объемной плотности энергии поля определена как:

$w=\frac{W}{V} \qquad (1.1)$

Энергия (W) поля конденсатора может быть найдена как:

$W=\frac{CU^2}{2} \qquad (1.2)$

При этом электрическая емкость конденсатора равна:

$C=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0S}{d} \qquad (1.3)$

Используем выражения (1.2) и (1.3) для преобразования формулы (1.1), учтем, что:

$V=S\cdot d$

получаем:

$w=\frac{{\varepsilon {\varepsilon}_0U}^2}{2d^2}$

Из справочников найдем, что диэлектрическая проницаемость стекла равна: $\varepsilon =7$ , проведем вычисления:

$w=\frac{{7\cdot 8,85\cdot {10}^{-12}\cdot ({10}^3)}^2}{2{\cdot (0,01)}^2}=0,309\ (\frac{J}{m^3})$

Ответ

$w=0,309\frac{J}{m^3}$

ПРИМЕР 2

Задание

Конденсаторы $C_1$ , $C_2$ , $C_3$ соединены так, как указано на рис. 1. и включены в цепь с напряжением U. Какова энергия первого конденсатора ( $W_1$ )?

Решение

В качестве основы для решения задачи используем следующую формулу для вычисления энергии поля в конденсаторе:

$W=\frac{q^2}{2C} \qquad (2.1)$

Учтем, что соединение конденсаторов является последовательным, значит, заряды (q) на каждом из конденсаторов равны:

$q=U\cdot C \qquad (2.2)$

где C – электрическая емкость последовательного соединения конденсаторов, которую найдем как:

$\frac{1}{C}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}+\frac{1}{C_3}\ \to C=\frac{C_1C_2C_3}{C_1C_2{+C_2C}_3+C_1C_3}\ (2.3)$

Используя выражения (2.3) и (2.2) получим:

$q=U\cdot \frac{C_1C_2C_3}{C_1C_2{+C_2C}_3+C_1C_3} \qquad (2.4)$

В таком случае энергия поля первого конденсатора равна:

$W_1=U^2{\left(\frac{C_1C_2C_3}{C_1C_2{+C_2C}_3+C_1C_3}\right)}^2\cdot \frac{1}{C_1}$

Ответ

$W_1={U^2\left(\frac{C_2C_3}{C_1C_2{+C_2C}_3+C_1C_3}\right)}^2C_1$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Энергия конденсатора

Определение и общие сведения о энергии конденсатора

Энергия поля плоского конденсатора

Примеры решения задач