Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула энергии конденсатора

Как любой проводник, несущий заряд, конденсатор имеет энергию, которую находят по формуле:

    \[ W_p=\frac{q\Delta \varphi }{2}=\frac{C{\left(\Delta \varphi \right)}^2}{2}=\frac{q^2}{2C}\ \qquad(1)\]

где q – заряд конденсатора; C – емкость конденсатора; \Delta \varphi – разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Связь энергии конденсатора и силы взаимодействия его пластин

Механическую (пондемоторную) силу, с которой пластины плоского конденсатора взаимодействуют между собой можно найти, если использовать формулу (1). Допустим, что расстояние между пластинами конденсатора изменяют от x до x-dx. В таком случае, сила изменяющая расстояние между пластинами выполняет работу, равную:

    \[dA=Fdx\ \qquad(2)\]

При этом потенциальная энергия взаимодействия пластин уменьшается на:

    \[-dW_p=Fdx\ \qquad(3)\]

Тогда силу, которая выполняет работу можно представить как:

    \[F=-\frac{dW_p}{dx} \qquad(4)\]

Емкость плоского конденсатора равна:

    \[C=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0S}{x} \qquad(5)\]

Значит, формулу энергии плоского конденсатора запишем как:

    \[W_p=\frac{q^2}{2\varepsilon \varepsilon_0S}x \qquad(6)\]

Подставим в (4) выражение для энергии (6), получим:

    \[F=-\frac{q^2}{2\varepsilon {\varepsilon }_0S} \qquad(7)\]

В выражении (7) минус показывает, что пластины конденсатора притягиваются друг к другу.

Энергия электростатического поля плоского конденсатора

Если вспомнить, что разность потенциалов между обкладками плоского конденсатора равна:

    \[\Delta \varphi =Ed\ \qquad(8)\]

где расстояние меду пластинами конденсатора мы обозначили d, и приняв во внимание, что для плоского конденсатора емкость определена выражением (5) тогда имеем:

    \[W_p=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}Sd=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}V\ \qquad(9)\]

где Sd=V – объем конденсатора; E – напряженность поля конденсатора. Формула (9) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и напряженностью поля.

Примеры решения задач по теме «Энергия конденсатора»

ПРИМЕР 1
Задание Как изменится энергия поля плоского конденсатора (\frac{W_{p2}}{W_{p1}}), если расстояние между его пластинами уменьшить в n раз, при этом конденсатор зарядили и после этого изменяли расстояние (d_1=nd_2)?
Решение По условию задачи расстояние между пластинами конденсатора изменяли после того, как его зарядили, поэтому можно считать, что заряд на пластинах конденсатора не изменяется, при движении пластин:

    \[q_1=q_2=const\  \qquad(1.1)\]

Исходя из (1) основой для решения задачи будем считать формулу для расчета энергии поля конденсатора вида:

    \[W_p=\frac{q^2}{2C}\  \qquad(1.2)\]

Ёмкость плоского конденсатора определена выражением:

    \[C=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}{d} \qquad(1.3)\]

Значит, в первом случае конденсатор имел электроемкость, равную:

    \[C_1=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}{d_1}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{nd_2} \qquad(1.4)\]

Во втором случае:

    \[C_2=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}{d_2} \qquad(1.5)\]

Подставим в формулу (1.2) емкости конденсаторов C_1 и C_2, получим:

    \[W_{p1}=\frac{q^2}{2C_1}=\frac{q^2d_1}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}=\frac{q^2{nd}_2}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0} S};\ W_{p2}=\frac{q^2}{2C_1}=\frac{q^2d_2}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}\  \qquad(1.6)\]

Учитывая выражения (1.6), имеем:

    \[\frac{W_{p2}}{W_{p1}}=\frac{q^2d_2}{2\varepsilon \varepsilon_0 S}:\frac{q^2{nd}_2}{2\varepsilon \varepsilon_0 S}=\frac{1}{n}\]

Ответ Уменьшится в n раз.
ПРИМЕР 2
Задание Как изменится плотность энергии поля плоского конденсатора w, если пространство между его пластинами заполнить диэлектриком (\varepsilon)? Рассмотрите два случая: 1) конденсатор соединен с источником напряжения (рис.1); 2) конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения (рис.2).
Решение Плотностью энергии электрического поля называют энергию поля, которая приходится на единицу объема:

    \[w=\frac{W_p}{V} \qquad(2.1)\]

1) Для случая с постоянным наличием источника напряжения, соединённого с конденсатором воспользуемся формулой для энергии конденсатора:

    \[W_p=\frac{C{\left(\Delta \varphi \right)}^2}{2} \qquad(2.2)\]

Разность потенциалов (\Delta \varphi) и напряженность поля (E) плоского конденсатора связывает выражение:

    \[\Delta \varphi =Ed\  \qquad(2.3)\]

где d – расстояние между пластинами конденсатора. Емкость плоского конденсатора равна:

    \[C=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}{d} \qquad(2.4)\]

Используем выражения (2.3) и (2.4), преобразуем формулу энергии поля конденсатора (2.2), имеем:

    \[W_p=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}{d}\frac{{\left(Ed\right)}^2}{2}=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} SE^2Sd}{2}=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} SE^2V}{2}\  \qquad(2.5)\]

где V=Sd. Тогда, следуя определению плотности энергии (2.1), получаем:

    \[w=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} SE^2}{2}\  \qquad(2.6)\]

Значит, для конденсатора, в котором в качестве диэлектрика выступает воздух ({\varepsilon }_1=1):

    \[w_1=\frac{{\varepsilon }_{0} SE^2}{2}\  \qquad(2.7)\]

Для конденсатора с диэлектриком, проницаемость которого равна \varepsilon:

    \[w_2=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} SE^2}{2}\  \qquad(2.8)\]

Найдем отношение \frac{w_2}{w_1}, используя выражения (2.7) и (2.8):

    \[\frac{w_2}{w_1}=\varepsilon \]

2) Если манипуляции с конденсатором производят после его зарядки и отключения от источника напряжения, то постоянным остается заряд на пластинах (рис.2). В таком случае, для нахождения энергии поля конденсатора целесообразно использовать формулу (применяем, также формулу для емкости плоского конденсатора (2.4)):

    \[W_p=\frac{q^2}{2C}=\frac{q^2d}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}\  \qquad(2.9)\]

В таком случае выражение для плотности энергии поля плоского конденсатора принимает вид:

    \[w=\frac{q^2}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0} S^2}\ \left(2.10\right)\]

Тогда:

    \[\frac{w_2}{w_1}=\frac{1}{\varepsilon }\]

Ответ 1) Плотность энергии поля увеличивается в \varepsilon раз. 2) Плотность энергии поля уменьшается в \varepsilon раз.