Формула энергии конденсатора

Как любой проводник, несущий заряд, конденсатор имеет энергию, которую находят по формуле:

$W_p=\frac{q\Delta \varphi }{2}=\frac{C{\left(\Delta \varphi \right)}^2}{2}=\frac{q^2}{2C}\ \qquad(1)$

где q – заряд конденсатора; C – емкость конденсатора; $\Delta \varphi$ – разность потенциалов между обкладками конденсатора.

Связь энергии конденсатора и силы взаимодействия его пластин

Механическую (пондемоторную) силу, с которой пластины плоского конденсатора взаимодействуют между собой можно найти, если использовать формулу (1). Допустим, что расстояние между пластинами конденсатора изменяют от x до $x-dx$ . В таком случае, сила изменяющая расстояние между пластинами выполняет работу, равную:

$dA=Fdx\ \qquad(2)$

При этом потенциальная энергия взаимодействия пластин уменьшается на:

$-dW_p=Fdx\ \qquad(3)$

Тогда силу, которая выполняет работу можно представить как:

$F=-\frac{dW_p}{dx} \qquad(4)$

Емкость плоского конденсатора равна:

$C=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0S}{x} \qquad(5)$

Значит, формулу энергии плоского конденсатора запишем как:

$W_p=\frac{q^2}{2\varepsilon \varepsilon_0S}x \qquad(6)$

Подставим в (4) выражение для энергии (6), получим:

$F=-\frac{q^2}{2\varepsilon {\varepsilon }_0S} \qquad(7)$

В выражении (7) минус показывает, что пластины конденсатора притягиваются друг к другу.

Энергия электростатического поля плоского конденсатора

Если вспомнить, что разность потенциалов между обкладками плоского конденсатора равна:

$\Delta \varphi =Ed\ \qquad(8)$

где расстояние меду пластинами конденсатора мы обозначили d, и приняв во внимание, что для плоского конденсатора емкость определена выражением (5) тогда имеем:

$W_p=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}Sd=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_0E^2}{2}V\ \qquad(9)$

где $Sd=V$ – объем конденсатора; E – напряженность поля конденсатора. Формула (9) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и напряженностью поля.

Примеры решения задач по теме «Энергия конденсатора»

ПРИМЕР 1

Задание

Как изменится энергия поля плоского конденсатора ( $\frac{W_{p2}}{W_{p1}}$ ), если расстояние между его пластинами уменьшить в n раз, при этом конденсатор зарядили и после этого изменяли расстояние ( $d_1=nd_2$ )?

Решение

По условию задачи расстояние между пластинами конденсатора изменяли после того, как его зарядили, поэтому можно считать, что заряд на пластинах конденсатора не изменяется, при движении пластин:

$q_1=q_2=const\ \qquad(1.1)$

Исходя из (1) основой для решения задачи будем считать формулу для расчета энергии поля конденсатора вида:

$W_p=\frac{q^2}{2C}\ \qquad(1.2)$

Ёмкость плоского конденсатора определена выражением:

$C=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}{d} \qquad(1.3)$

Значит, в первом случае конденсатор имел электроемкость, равную:

$C_1=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}{d_1}=\frac{\varepsilon \varepsilon_0 S}{nd_2} \qquad(1.4)$

Во втором случае:

$C_2=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}{d_2} \qquad(1.5)$

Подставим в формулу (1.2) емкости конденсаторов $C_1$ и $C_2$ , получим:

$W_{p1}=\frac{q^2}{2C_1}=\frac{q^2d_1}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}=\frac{q^2{nd}_2}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0} S};\ W_{p2}=\frac{q^2}{2C_1}=\frac{q^2d_2}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}\ \qquad(1.6)$

Учитывая выражения (1.6), имеем:

$\frac{W_{p2}}{W_{p1}}=\frac{q^2d_2}{2\varepsilon \varepsilon_0 S}:\frac{q^2{nd}_2}{2\varepsilon \varepsilon_0 S}=\frac{1}{n}$

Ответ

Уменьшится в n раз.

ПРИМЕР 2

Задание

Как изменится плотность энергии поля плоского конденсатора w, если пространство между его пластинами заполнить диэлектриком ( $\varepsilon$ )? Рассмотрите два случая: 1) конденсатор соединен с источником напряжения (рис.1); 2) конденсатор заряжен и отключен от источника напряжения (рис.2).

Решение

Плотностью энергии электрического поля называют энергию поля, которая приходится на единицу объема:

$w=\frac{W_p}{V} \qquad(2.1)$

1) Для случая с постоянным наличием источника напряжения, соединённого с конденсатором воспользуемся формулой для энергии конденсатора:

$W_p=\frac{C{\left(\Delta \varphi \right)}^2}{2} \qquad(2.2)$

Разность потенциалов ( $\Delta \varphi$ ) и напряженность поля (E) плоского конденсатора связывает выражение:

$\Delta \varphi =Ed\ \qquad(2.3)$

где d – расстояние между пластинами конденсатора. Емкость плоского конденсатора равна:

$C=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}{d} \qquad(2.4)$

Используем выражения (2.3) и (2.4), преобразуем формулу энергии поля конденсатора (2.2), имеем:

$W_p=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}{d}\frac{{\left(Ed\right)}^2}{2}=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} SE^2Sd}{2}=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} SE^2V}{2}\ \qquad(2.5)$

где $V=Sd.$ Тогда, следуя определению плотности энергии (2.1), получаем:

$w=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} SE^2}{2}\ \qquad(2.6)$

Значит, для конденсатора, в котором в качестве диэлектрика выступает воздух ( ${\varepsilon }_1=1$ ):

$w_1=\frac{{\varepsilon }_{0} SE^2}{2}\ \qquad(2.7)$

Для конденсатора с диэлектриком, проницаемость которого равна $\varepsilon$ :

$w_2=\frac{\varepsilon {\varepsilon }_{0} SE^2}{2}\ \qquad(2.8)$

Найдем отношение $\frac{w_2}{w_1},$ используя выражения (2.7) и (2.8):

$\frac{w_2}{w_1}=\varepsilon$

2) Если манипуляции с конденсатором производят после его зарядки и отключения от источника напряжения, то постоянным остается заряд на пластинах (рис.2). В таком случае, для нахождения энергии поля конденсатора целесообразно использовать формулу (применяем, также формулу для емкости плоского конденсатора (2.4)):

$W_p=\frac{q^2}{2C}=\frac{q^2d}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0} S}\ \qquad(2.9)$

В таком случае выражение для плотности энергии поля плоского конденсатора принимает вид:

$w=\frac{q^2}{2\varepsilon {\varepsilon }_{0} S^2}\ \left(2.10\right)$

Тогда:

$\frac{w_2}{w_1}=\frac{1}{\varepsilon }$

Ответ

1) Плотность энергии поля увеличивается в $\varepsilon$ раз. 2) Плотность энергии поля уменьшается в $\varepsilon$ раз.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Формула энергии конденсатора

Связь энергии конденсатора и силы взаимодействия его пластин

Энергия электростатического поля плоского конденсатора

Примеры решения задач по теме «Энергия конденсатора»