Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Плоский конденсатор

Большое число конденсаторов, которые применяют в технике, приближены по типу к плоскому конденсатору. Это конденсатор, который представляет собой две параллельные проводящие плоскости (обкладки), которые разделяет небольшой промежуток, заполненный диэлектриком. На обкладках сосредоточены равные по модулю и противоположные по знаку заряды.

Электрическая емкость плоского конденсатора

Электрическая емкость плоского конденсатора очень просто выражается через параметры его частей. Изменяя площадь пластин конденсатора и расстояние между ними легко убедиться, что электрическая емкость плоского конденсатора прямо пропорциональна площади его пластин (S) и обратно пропорциональна расстоянию между ними (d):

    \[C\sim \frac{S}{d} \qquad (1) \]

Формулу для расчета емкости плоского конденсатора просто получить при помощи теоретических расчетов.

Положим, что расстояние между пластинами конденсатора много меньше, чем их линейные размеры. Тогда краевыми эффектами можно пренебречь, и электрическое поле между обкладками считать однородным. Поле (E), которое создают две бесконечные плоскости, несущие одинаковый по модулю и противоположный по знаку заряд, разделенные диэлектриком с диэлектрической проницаемостью \varepsilon, можно определить при помощи формулы:

    \[E=\frac{\sigma} {\varepsilon {\varepsilon}_0} \qquad (2), \]

где \sigma =\frac{q}{S}— плотность распределения заряда по поверхности пластины. Разность потенциалов между рассматриваемыми обкладками конденсатора, находящимися на расстоянии d будет равна:

    \[{\varphi}_1-{\varphi}_2=\int^d_0{Edx=\int^d_0{\frac{\sigma} {\varepsilon {\varepsilon}_0}dx=\frac{\sigma} {\varepsilon {\varepsilon}_0}d}} \qquad (3)\]

Подставим правую часть выражения (3) вместо разности потенциалов в (1) учитывая, что q=\sigma S, имеем:

    \[C=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0S}{d} \qquad (4) \]

Энергия поля плоского конденсатора и сила взаимодействия его пластин

Формула энергии поля плоского конденсатора записывается как:

    \[W_p=\frac{q^2}{2\varepsilon {\varepsilon}_0S}d=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0E^2}{2}Sd=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0E^2}{2}V \qquad (5), \]

где Sd=V – объем конденсатора; E – напряженность поля конденсатора. Формула (5) связывает энергию конденсатора с зарядом на его обкладках и напряженностью поля.

Механическую (пондемоторную) силу, с которой пластины плоского конденсатора взаимодействуют между собой можно найти, если использовать формулу:

    \[F=-\frac{q^2}{2\varepsilon {\varepsilon}_0S} \qquad (6) \]

В выражении (6) минус показывает, что пластины конденсатора притягиваются друг к другу.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Чему равно расстояние между пластинами плоского конденсатора, если при разности потенциалов U=150В, заряд на пластине конденсатора равен q={10}^{-8} Кл? Площадь пластин S={10}^{-2}m^2, диэлектриком в нем является слюда (\varepsilon =7).
Решение Емкость конденсатора вычисляется при помощи формулы:

    \[C=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0S}{d} \qquad (1.1) \]

Из этого выражения получим расстояние между пластинами:

    \[d=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0S}{C} \qquad (1.2) \]

Емкость любого конденсатора определяет формула:

    \[C=\frac{q}{U} \qquad (1.3),\]

где U – разность потенциалов между обкладками конденсатора. Подставим правую часть выражения (1.3) вместо емкости в формулу (1.2), имеем:

    \[d=\frac{U\varepsilon {\varepsilon}_0S}{q}\]

Вычислим расстояние между обкладками ({\varepsilon}_0=8,85\cdot {10}^{-12}\frac{F}{m}):

    \[d=\frac{150\cdot 7\cdot 8,85\cdot {10}^{-12}\cdot {10}^{-2}}{{10}^{-8}}=9,29\cdot {10}^{-3}(m)\]

Ответ d=9,29\cdot {10}^{-3} м
ПРИМЕР 2
Задание Разность потенциалов между пластинами плоского воздушного конденсатора равна U_1=500 В. Площадь пластин равна S=2\cdot {10}^{-2}m^2, расстояние между ними d_1=1,5\cdot {10}^{-3} м. Какова энергия конденсатора W_1 и чему она будет равна, если пластины раздвинуть до расстояния d_2=1,5\cdot {10}^{-2} м. Учтите, что источник напряжения при раздвижении пластин не отключают.
Решение Сделаем рисунок.
Плоский конденсатор, пример 1

Рис. 1

Энергию электрического поля конденсатора можно найти при помощи выражения:

    \[W=\frac{CU^2}{2} \qquad (2.1) \]

Так как конденсатор плоский, то его электрическую емкость можно вычислить как:

    \[C=\frac{\varepsilon {\varepsilon}_0S}{d} \qquad (2.2) \]

Для первого случая она будет равна (учтем, что конденсатор воздушный, то есть \varepsilon=1):

    \[C_1=\frac{{\varepsilon}_0S}{d_1} \qquad (2.3) \]

В таком случае энергия конденсатора в первом состоянии:

    \[W_1=\frac{{\varepsilon}_0S}{d_1}\frac{{U_1}^2}{2} \qquad (2.4) \]

Вычислим ее:

    \[W_1=\frac{8,85\cdot {10}^{-12}\cdot 2\cdot {10}^{-2}\cdot {(500)}^2}{2\cdot 1,5\cdot {10}^{-3}}=14,8\cdot {10}^{-6}\ (J)\]

При манипуляциях с конденсатором при не выключенном источнике напряжения разность потенциалов между обкладками не изменяется. Поэтому:

    \[W_2=\frac{{\varepsilon}_0S}{d_2}\frac{{U_1}^2}{2}=W_1\frac{d_1}{d_2}\]

Вычислим энергию конденсатора во втором состоянии:

    \[W_2=14,8\cdot {10}^{-6}\cdot \frac{1,5\cdot {10}^{-3}}{1,5\cdot {10}^{-2}}=1,48\cdot {10}^{-6}\ (J)\]

Ответ {{\rm W}}_{{\rm 1}}=14,8\cdot {10}^{-6}Дж; W_2=1,48\cdot {10}^{-6} Дж
Нужна помощь с
решением задач?
Более 500 авторов онлайн и готовы помочь тебе прямо сейчас! Цена от 20 рублей за задачу. Сейчас у нас проходит акция, мы дарим 100 руб на первый заказ.