Дифракция Френеля

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Дифракцией Френеля называют дифракцию при которой источник света и (или) экран на котором проводится наблюдение дифракционной картины, расположены на конечных расстояниях от препятствий, которые вызывают дифракцию.

В задачах о дифракции Френеля нельзя пренебречь кривизной волновых поверхностей падающей волны и (или только) волны после дифракции. В случае дифракции Френеля на экране наблюдения возникает «дифракционное изображение» препятствия. Математическое решение задач по дифракции Френеля, обычно весьма непростое. В самых простых случаях, рассматривая дифракцию Френеля, используют метод кольцевых зон или спираль Корню.

Дифракция Френеля на круглом отверстии

При дифракции Френеля на круглом отверстии картина дифракции на экране наблюдения, который параллелен экрану с отверстием в виде круга, будет представлена в виде концентрических колец с минимумом (темных) и максимумом (светлых) интенсивности. Центры этих колец расположены на прямой, которая проходит через источник света (S) и перпендикулярна экрану наблюдения (AB) (рис.1).

b – расстояние от отверстия до экрана. $\lambda$ – длина волны света.

Рис. 1

Если разбить открытую часть волновой поверхности (F) на зоны Френеля, то можно сказать, что картина дифракции зависит от количества зон Френеля, которые укладываются в отверстии. В том случае, если число зон Френеля (см. раздел Дифракция (подраздел Теория Френеля)) для точки О, укладывающихся в отверстие, равно нечетному числу, то амплитуда в этой точке становится больше, чем если бы экрана с СД не было. Если количество зон равно четному числу, то амплитуда в точке О меньше, чем при отсутствии экрана CD. Если в отверстие укладывается одна волна Френеля, то амплитуда волны в точке О будет в два раза больше, чем при отсутствии непрозрачного экрана с отверстием.

На участках вне оси SO вычисление результирующего колебания будет существенно сложнее, так как происходит частичное перекрытие зон Френеля. Если на отверстие будет падать белый свет, то кольца будут окрашены.

Количество зон Френеля зависит от размера отверстия. Если радиус отверстия большой, то дифракции не наблюдают, и свет распространяется прямолинейно.

Радиус зоны Френеля номер n ( $r_n$ ) равен:

$r_n=\sqrt{n\frac{ab}{a+b}\lambda} \qquad (1),$

где a – расстояние от источника света, до отверстия в непрозрачном экране; b – расстояние от отверстия до точки наблюдения.

Дифракция Френеля на маленьком круглом экране

Допустим, что сферическая волна исходит от точечного источника S, преградой ей является диск. При этом картину дифракции наблюдаем на экране в точке О (рис.2). При такой ситуации участок фронта волны, который закрыт диском следует исключить и при рассмотрении зон Френеля строить их начиная с краев диска.

b – расстояние от отверстия до экрана. $\lambda$ – длина волны света.

Рис. 2

Допустим, что диск закрыл первые m зон Френеля. В таком случае амплитуда результирующих колебаний в точке О равна:

$A=\frac{A_{m+1}}{2} \qquad (1)$

Получается, что в точке О всегда наблюдается максимум интенсивности (светлое пятно), которое соответствует половине действия первой открытой зоне Френеля. Центральный максимум окружают концентрические с ним темные и светлые кольца. Интенсивность максимумов уменьшается при движении от цента картины.

При росте радиуса диска, первая открытая зона Френеля отодвигается от точки О, увеличивается угол между направлением на точку О и нормалью к поверхности зоны. При этом интенсивность центрального максимума падает. При значительных размерах диска за ним возникает тень и только около границ этой тени наблюдается слабая картина дифракции. Можно считать, что если размер диска большой, то свет распространяется прямолинейно.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Каково расстояние от точки наблюдения до круглого отверстия (b), если оно открывает три зоны Френеля? (рис.3) Радиус этого отверстия равен $r=$ 2,5 мм. Длина волны света, падающего перпендикулярно к поверхности отверстия равна $\lambda =6\cdot {10}^{-7}$ м.

Рис. 3

Решение

Для того чтобы найти расстояние от отверстия до точки наблюдения, следует рассмотреть прямоугольный треугольник САО (рис. 3). Используя теорему Пифагора имеем:

${(b+m\frac{\lambda} {2})}^2=b^2+r^2 \qquad (1.1)$

Упростим выражение (1.1), получим:

$b^2+bm\lambda +m^2\frac{{\lambda} ^2}{4}=b^2+r^2\to bm\lambda +m^2\frac{{\lambda} ^2}{4}=r^2 \qquad (1.2)$

Из формулу (1.2) выразим искомое расстояние b:

$b=\frac{r^2}{m\lambda} -\frac{m\lambda} {4} \qquad (1.3)$

По условию задачи m=3, можем провести вычисления:

$b=\frac{{\left(2,5\cdot {10}^{-3}\right)}^2}{3\cdot 6\cdot {10}^{-7}}-\frac{3\cdot 6\cdot {10}^{-7}} {4}\approx 3,47\ (m)$

Ответ

$b=3,47$ м

ПРИМЕР 2

Задание

Максимум или минимум интенсивности света будет расположен на экране в центре картины дифракции, если на экран с круглым отверстием радиуса r=1,5 мм перпендикулярно к поверхности падает пучок монохроматического света с длиной волны $\lambda$ =0,5 мкм. Точка наблюдения лежит на оси отверстия на расстоянии 1,5 м от него.

Решение

Для решения задачи можно использовать рисунок и результат решения задачи примера 1. Нами было получено, что:

$bm\lambda +m^2\frac{{\lambda} ^2}{4}=r^2 \qquad (2.1),$

где b=1,5 м по условию. Слагаемым $m^2\frac{{\lambda} ^2}{4}$ можно пренебречь в виду его малости, тогда будем использовать выражение:

$bm\lambda =r^2 \qquad (2.2)$

Выразим m:

$m=\frac{r^2}{b\lambda}$

Проведем вычисления, и если получим, что m – четное, то в рассматриваемой точке имеем минимум (темное пятно), если получим нечетное число, то пятно светлое (максимум интенсивности).

$m=\frac{{\left(1,5\cdot {10}^{-3}\right)}^2}{1,5\cdot 0,5\cdot {10}^{-6}}=3$

Ответ

Так как m=3 – число не четное, то мы получим светлое кольцо.

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Дифракция Френеля

Дифракция Френеля на круглом отверстии

Дифракция Френеля на маленьком круглом экране

Примеры решения задач