Дифракция Фраунгофера

Основные сведения о дифракции Фраунгофера

Фраунгофер исследовал дифракционные явления в параллельных лучах света. При этом труба наводилась на источник света, который располагался на значительном расстоянии, и дифракционная картина рассматривалась в фокальной плоскости трубы сквозь ее окуляр. Например, если рассматривать светящуюся нить, расположенную на большом расстоянии, через объектив, прикрытый экраном с узкой щелью, то в фокальной плоскости объектива будет наблюдаться светлая размытая полоса, имеющая несколько максимумов и минимумов. (Надо учитывать, что картина, которую мы видим в таком случае, не всегда картина дифракции, которая появляется как результат ограничения пучка света).

И так, дифракция, которая образуется параллельными лучами, называют дифракцией Фраунгофера. Дифракция Фраунгофера принципиально не отличается от дифракции Френеля.

Условия близкие к условиям дифракции Фраунгофера можно получить, если поместить маленький источник света в фокусе линзы, и собрать свет, используя вторую линзу, в какой — то точке экрана, который находится в ее фокальной плоскости. Данная точка будет изображением источника. Если между линзами помещать экраны с разными отверстиями, то можно изменять характер картины дифракции, которая будет изображением источника. Размеры и форма отверстий определяют направления распространения света и место, где свет будет собираться на приемном экране. Изображение будет иметь вид пятна с изменяющейся, в зависимости от места, освещенностью. Решить задачу дифракции – это значит определить, каково распределение освещенности на экране и как освещенность зависит от размера и формы препятствия, которое вызывает дифракцию света.

Чаще всего дифракцию Фраунгофера рассматривают на узкой щели (узком прямоугольном отверстии), прямоугольном отверстии, круглом отверстии, двух и более одинаковых параллельных щелях.

Дифракция на узкой длинной щели

Если монохроматический свет падает на узкую длинную щель перпендикулярно ее плоскости, то амплитуда волны (A) в побочном фокусе линзы равна:

$A\left(\varphi \right)=A_0\frac{{\sin \left\{\frac{kb{\sin \varphi}} {2}\right\}}} {\frac{kb{\sin \varphi}} {2}} \qquad (1),$

где $\varphi$ – угол дифракции; $A_0$ – амплитуда волны в центре картины дифракции (при $\varphi =0$ ); b – ширина щели; $k=\frac{2\pi} {\lambda}$ – волновое число.

Условие минимумов при дифракции на узкой щели имеет вид:

$A\left(\varphi \right)=0,\ {\sin \varphi =\pm \frac{m\lambda} {b}} \qquad (2),$

где m – целое число, принимающее значение $m=1,2,3\dots$

Условием максимумов (второе выражение является приближенным) в рассматриваемом случае являются:

$\varphi =0\ ,A=A_{0}$ для максимума нулевого порядка;

$\sin \varphi =\pm \left(2n+1\right)\frac{\lambda} {2b}\ (n=1,2,3\dots )\qquad (3)$

Дифракция на прямоугольном отверстии

Если рассматривают дифракцию на прямоугольном отверстии с высотой a и шириной b, то направление распространения света после дифракции задают при помощи двух углов (например, $\alpha$ и $\beta$ ). Это углы между направлением луча дифрагированного света и осью X (для $\alpha$ ) и Y (для $\beta$ ). Оси проводят параллельно сторонам отверстия.

В случае перпендикулярного падения света на плоскость отверстия минимумы интенсивности света после дифракции будут определены формулами:

$b{\sin (\frac{\pi} {2}-\alpha )} =\pm m\lambda ;\ a{\sin (\frac{\pi} {2}-\beta )} =\pm n\lambda \qquad (4)$

Дифракция на круглом отверстии

Если свет от точечного источника падает на круглое отверстие перпендикулярно его плоскости, то картина дифракции — это совокупность светлых и темных колец. При этом расположение максимумов и минимумов интенсивности определено выражением:

${\sin \varphi =\ \frac{k_m}{R}} m\lambda \qquad (5),$

где $\varphi$ – угол дифракции, который связан с фокусным расстоянием линзы (F), как ( $\varphi =\frac{r}{F},\ r$ – расстояние от центра картины дифракции до рассматриваемой точки); R – радиус отверстия; $m=1, 2, 3\dots$ — порядок максимума или минимума; величины $k_{max}$ для разных порядков максимума:

$\begin{array}{cc} m & k_{max} \\ 1 & 0 \\ 2 & 0,41 \\ 3 & 0,44 \end{array} \qquad (6)$

$k_{min}$ для разных порядков максимума:

$\begin{array}{cc} m & k_{min} \\ 1 & 0,61 \\ 2 & 0,56 \\ 3 & 0,54 \end{array} \qquad (7)$

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислите, каково направление на вторую полосу дифракции (в сравнении с первоначальным направлением распространения света), если ширина узкой щели равна $b=5\cdot {10}^{-5}$ м, свет длиной волны $\lambda =694\cdot {10}^{-9}$ м падает на щель нормально.

Решение

Условие, при котором наблюдают максимум при дифракции на узкой щели (если это не максимум первого порядка):

${\sin \varphi} =\pm \left(2n+1\right)\frac{\lambda} {2b}\left(n=1,2,3\dots \right) \qquad (1.1)$

По условию задачи n=2, достаточно рассмотреть одно направление то есть:

${\sin \varphi} =\left(2\cdot 2+1\right)\frac{\lambda} {2b}=\frac{5}{2b}\lambda$

Проведем вычисления:

${\sin \varphi} =\frac{5}{2\cdot 5\cdot {10}^{-5}}\cdot 694\cdot {10}^{-9}=0,0347$

Ответ

$\varphi =0,0347$ рад=2^o

ПРИМЕР 2

Задание

На щель, имеющую ширину $b$ падает перпендикулярно свет с длиной волны $\lambda$ . Картину дифракции наблюдают на экране, который параллелен плоскости щели. Каково расстояние от щели до экрана (l), если ширина центрального максимума составляет величину a.