Как найти высоту параллелограмма

Задача.
В параллелограмме проведена высота, которая выходит из вершины тупого угла. Эта высота делит основание параллелограмма на две равные части. Острый угол равен 30 градусов. Диагональ параллелограмма, которая соединяет вершины тупых углов, равна 10 см.
Найдем высоту параллелограмма и углы между диагональю и сторонами параллелограмма.

Решение.

Построим параллелограмм ABCD. Проведем в нем высоту ВЕ и диагональ BD.
Согласно условию задачи AE = ED.
Рассмотрим треугольники DBE и ABE. Они равные, поскольку согласно 1-му признаку равенства треугольников у них равны две соответствующие стороны (AE = ED, а ВЕ – общая) и угол между ними (угол АЕВ и угол DEB – прямые, так как ВЕ – высота).
Так как треугольники равны, то и стороны АВ и BD – равны. Следовательно, треугольник ABD – равнобедренный и угол ADB равен углу DAB и равен 30 градусов.
Тогда угол DBC тоже равен 30 градусов как внутренний накрест лежащий при параллельных прямых AD и BC, а также секущей BD.
Рассмотрим прямоугольный треугольник ABE.
Найдем угол ABE:
АВЕ = 180 – АЕВ – ВАЕ;
АВЕ = 180 – 90 – 30;
АВЕ = 60.
Следовательно, угол EBD тоже равен 60 градусов.
Таким образом, угол между диагональю BD и стороной АВ равен:
ABD = АВЕ + DBE = 60 + 60 = 120 градусов.
Угол BDC равен углу ABD и также равен 120 градусов как внутренний накрест лежащий.
Найдем высоту из треугольника BED, используя определение косинуса:
BE / BD = cos (DBE);
BE / BD = cos 60 ;
BE / BD = ½;
ВЕ / 10 = ½;
BЕ = 5 (см).

Ответ: 5 см; 30 и 120 градусов.