Примеры решения производных сложных функций

Пусть задана сложная функция $y=f(\varphi (x))$ , тогда производная этой сложной функции находится по правилу:

$y'=f'(\varphi (x)) \cdot \varphi' (x)$

иначе говоря, производная сложной функции берется по «правилу цепочки», то есть, сначала находится производная внешней функции, аргумент при этом не изменяется, а затем находится производная от её аргумента. Если же и он является сложной функцией, то процесс снова повторяется, пока не найдется производная от последнего независимого аргумента.

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную сложной функции $y=\sqrt{5x^{2}+2x-1}$

Решение

По правилу нахождения производной сложной функции вычислим сначала производною от корня и умножим её на производную подкоренного выражения

$y'= \left( \sqrt{5x^{2}+2x-1} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{5x^{2}+2x-1}} \cdot \left( 5x^{2}+2x-1 \right)'$

Производную подкоренного выражения находим, используя свойство линейности и таблицу производных:

$y' = \frac{5 \cdot 2x + 2 \cdot 1 - 0}{2 \sqrt{5x^{2}+2x-1}}= \frac{2 \cdot (5x+1)}{2 \sqrt{5x^{2}+2x-1}}= \frac{5x+1}{\sqrt{5x^{2}+2x-1}}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найти производную функции $y=e^{3x+2}$
Решение	По правилу дифференцирования сложной функции, сначала находим производную от экспоненты и умножаем её на производную её степени: $y'= \left( e^{3x+2} \right)' = e^{3x+2} \cdot (3x+2)' = e^{3x+2} \cdot (3 \cdot 1 + 0) = 3 e^{3x+2}$
Ответ	$y'= 3 e^{3x+2}$

ПРИМЕР 3

Задание

Найти производную функции сложной функции $y=\text{arcctg } x^{2}$

Решение

По правилу нахождения производной сложной функции, производная этой функции равна произведению производной от функции арккотангенс на производную аргумента:

$y'= \left( \text{arcctg } x^{2} \right)' = - \frac{1}{1 + \left( x^{2} \right)^{2}} \cdot (x^{2})'$

Аргумент является степенной функцией, поэтому производная от него равна $(x^{2})'=2x$ . В результате получим:

$y' = - \frac{1}{1 + \left( x^{2} \right)^{2}} \cdot (x^{2})' = - \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2x = - \frac{2x}{1 + x^{4}}$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание	Найти производную функции $y=\ln (x^{2}+4)$
Решение	Заданная функция является сложной, тогда по правилу вычисления производной сложной функции имеем: $y'= \left( \ln (x^{2}+4) \right)' = \frac{1}{x^{2}+4} \cdot (x^{2}+4) ' = \frac{2x+0}{x^{2}+4} = \frac{2x}{x^{2}+4}$
Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Найти производную сложной функции $y= \log _{2}^{2} (x^{2}-e^{5x})$

Решение

По правилу дифференцирования сложной функции возьмем сначала производную от заданной функции, как от степенной

$y'= \left( \log _{2}^{2} (x^{2}-e^{5x}) \right)' = \left( \left[ \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \right]^{2} \right)' = 2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \cdot \left( \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \right)'$

Далее возьмем производную от полученной логарифмической функции

$y'= 2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \cdot \left( \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \right)' = 2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \cdot \frac{1}{\ln 2 \cdot (x^{2}-e^{5x})} \cdot (x^{2}-e^{5x})'$

Производная разности равна разности производных:

$y'= 2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \cdot \frac{1}{\ln 2 \cdot (x^{2}-e^{5x})} \cdot (x^{2}-e^{5x})' = \frac{2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x})}{\ln 2 \cdot (x^{2}-e^{5x})} \cdot \left( (x^{2})' - \left( e^{5x} \right)' \right)'$

Производная $(x^{2})'=2x$ , производная $\left( e^{5x} \right)'$ является производной сложной функции и равна $\left( e^{5x} \right)' = e^{5x} \cdot (5x)' = e^{5x} \cdot 5$ . Подставляя найденные производные в последнее равенство, окончательно получим:

$y'= \frac{2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x})}{\ln 2 \cdot (x^{2}-e^{5x})} \cdot \left( (x^{2})' - \left( e^{5x} \right)' \right)' = \frac{2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x})}{\ln 2 \cdot (x^{2}-e^{5x})} \cdot (2x-5e^{5x})$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения производных сложных функций