Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения производных сложных функций

Пусть задана сложная функция y=f(\varphi (x)), тогда производная этой сложной функции находится по правилу:

    \[    y'=f'(\varphi (x)) \cdot \varphi' (x) \]

иначе говоря, производная сложной функции берется по «правилу цепочки», то есть, сначала находится производная внешней функции, аргумент при этом не изменяется, а затем находится производная от её аргумента. Если же и он является сложной функцией, то процесс снова повторяется, пока не найдется производная от последнего независимого аргумента.

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную сложной функции y=\sqrt{5x^{2}+2x-1}
Решение По правилу нахождения производной сложной функции вычислим сначала производною от корня и умножим её на производную подкоренного выражения

    \[    y'= \left( \sqrt{5x^{2}+2x-1} \right)' = \frac{1}{2 \sqrt{5x^{2}+2x-1}} \cdot \left( 5x^{2}+2x-1 \right)' \]

Производную подкоренного выражения находим, используя свойство линейности и таблицу производных:

    \[    y' = \frac{5 \cdot 2x + 2 \cdot 1 - 0}{2 \sqrt{5x^{2}+2x-1}}= \frac{2 \cdot (5x+1)}{2 \sqrt{5x^{2}+2x-1}}= \frac{5x+1}{\sqrt{5x^{2}+2x-1}} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y=e^{3x+2}
Решение По правилу дифференцирования сложной функции, сначала находим производную от экспоненты и умножаем её на производную её степени:

    \[    y'= \left( e^{3x+2} \right)' = e^{3x+2} \cdot (3x+2)' = e^{3x+2} \cdot (3 \cdot 1 + 0) = 3 e^{3x+2} \]

Ответ y'= 3 e^{3x+2}
ПРИМЕР 3
Задание Найти производную функции сложной функции y=\text{arcctg } x^{2}
Решение По правилу нахождения производной сложной функции, производная этой функции равна произведению производной от функции арккотангенс на производную аргумента:

    \[    y'= \left( \text{arcctg } x^{2} \right)' = - \frac{1}{1 + \left( x^{2} \right)^{2}} \cdot (x^{2})' \]

Аргумент является степенной функцией, поэтому производная от него равна (x^{2})'=2x . В результате получим:

    \[    y' = - \frac{1}{1 + \left( x^{2} \right)^{2}} \cdot (x^{2})' = - \frac{1}{1 + x^{4}} \cdot 2x = - \frac{2x}{1 + x^{4}} \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Найти производную функции y=\ln (x^{2}+4)
Решение Заданная функция является сложной, тогда по правилу вычисления производной сложной функции имеем:

    \[    y'= \left( \ln (x^{2}+4) \right)' = \frac{1}{x^{2}+4} \cdot (x^{2}+4) ' = \frac{2x+0}{x^{2}+4} = \frac{2x}{x^{2}+4} \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Найти производную сложной функции y= \log _{2}^{2} (x^{2}-e^{5x})
Решение По правилу дифференцирования сложной функции возьмем сначала производную от заданной функции, как от степенной

    \[    y'= \left( \log _{2}^{2} (x^{2}-e^{5x}) \right)' = \left( \left[ \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \right]^{2} \right)' = 2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \cdot \left( \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \right)' \]

Далее возьмем производную от полученной логарифмической функции

    \[    y'= 2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \cdot \left( \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \right)' = 2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \cdot \frac{1}{\ln 2 \cdot (x^{2}-e^{5x})} \cdot (x^{2}-e^{5x})' \]

Производная разности равна разности производных:

    \[    y'= 2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x}) \cdot \frac{1}{\ln 2 \cdot (x^{2}-e^{5x})} \cdot (x^{2}-e^{5x})' = \frac{2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x})}{\ln 2 \cdot (x^{2}-e^{5x})} \cdot \left( (x^{2})' - \left( e^{5x} \right)' \right)' \]

Производная (x^{2})'=2x , производная \left( e^{5x} \right)' является производной сложной функции и равна \left( e^{5x} \right)' = e^{5x} \cdot (5x)' = e^{5x} \cdot 5. Подставляя найденные производные в последнее равенство, окончательно получим:

    \[    y'= \frac{2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x})}{\ln 2 \cdot (x^{2}-e^{5x})} \cdot \left( (x^{2})' - \left( e^{5x} \right)' \right)' = \frac{2 \log _{2} (x^{2}-e^{5x})}{\ln 2 \cdot (x^{2}-e^{5x})} \cdot (2x-5e^{5x}) \]

Ответ