Примеры решения производных тригонометрических функций

Теория по производным тригонометрических функций

Производные тригонометрических функций равны соответственно:

$(\sin x)' = \cos x \text{ };\text{ } (\cos x)' = -\sin x$

Используя эти производные и правила дифференцирования, выведем формулу для нахождения производной функции $y=\text{tg }x$ . Представим эту функции как $y=\frac{\sin x}{\cos x}$ , тогда

$y'= (\text{tg }x)' = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)'$

Далее по правилу дифференцирования частного, получим

$y'= \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' = \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos ^{2} x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos ^{2} x} = \frac{\cos ^{2} x + \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}$

Учитывая, что в числителе у нас записано основное тригонометрическое тождество, окончательно получим:

$(\text{tg }x)' = \frac{1}{\cos ^{2} x}$

Аналогично можно вывести формулу для котангенса

$(\text{ctg }x)' = -\frac{1}{\sin ^{2} x}$

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $y = \text{tg }x - \text{ctg }x$

Решение

Производная разности равна разности производных

$y' = \left( \text{tg }x - \text{ctg }x \right)' = \left( \text{tg }x \right)' - \left( \text{ctg }x \right)' = \frac{1}{\cos ^{2} x} - \left( -\frac{1}{\sin ^{2} x} \right) = \frac{1}{\cos ^{2} x} + \frac{1}{\sin ^{2} x}$

Преобразуем полученное выражение, используя основное тригонометрическое тождество и формулы двойного угла:

$y' = \frac{1}{\cos ^{2} x} + \frac{1}{\sin ^{2} x} = \frac{ \sin ^{2} x + \cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x} = \frac{1}{\sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x} \cdot \frac{4}{4} = \frac{4}{\left( 2 \sin x \cdot \cos x \right)^{2}} = \frac{4}{\sin ^{2} 2x}$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание	Найти производную функции $y=\cos (3x+1)$
Решение	Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента: $y' = \left( \cos (3x+1) \right)' = - \sin (3x+1) \cdot (3x+1)' = - \sin (3x+1) \cdot (3 \cdot 1 + 0) = - 3\sin (3x+1)$
Ответ	$y' = - 3 \sin (3x+1)$

ПРИМЕР 3

Задание	Найти производную функции $y=\sin \sqrt{x}$
Решение	Заданная функция является сложной, поэтому сначала находим производную от синуса (косинус того же аргумента) и так как аргумент есть выражением более сложным, чем просто $x$ , то умножаем её на производную от $\sqrt{x}$ , получим: $y' = \left( \sin \sqrt{x} \right)' = \cos \sqrt{x} \cdot \left( \sqrt{x} \right)' = \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}}$
Ответ

ПРИМЕР 4

Задание	Найти производную от функции $y = \sin ^{2} x$
Решение	Данная функция является сложной функции. По правилу нахождения производной сложной функции, сначала, найдем производную от неё как от степенной функции, а затем найдем производную от аргумента. В данном случае, аргументом есть функция $\sin x$ и производная от неё равна $(\sin x)'=\cos x$ . Перемножив эти производные, получим: $y' = \left( \sin ^{2} x \right)' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x$
Ответ	$y'= \sin 2x$

ПРИМЕР 5

Задание

Найти производную функции

$y = \frac{1}{\text{tg }^{3} x}$

Решение

Перепишем заданную функцию следующим образом:

$y = \frac{1}{\text{tg }^{3} x} = \text{tg }^{-3} x$

Производную от этой функции будем находить по правилу нахождения производной сложной функции. Сначала как от степенной функции, а затем – от аргумента как от тригонометрической. Получим:

$y' = \left( \text{tg }^{-3} x \right)' = -3 \text{tg } ^{-2} x \cdot (\text{tg } x)' = \frac{-3}{\text{tg }^{2}x} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x}$

Преобразуем полученное выражение, представляя

$\text{tg }^{2} x = \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}$

$y' = \frac{-3}{\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} = \frac{-3}{\sin ^{2} x}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения производных тригонометрических функций

Теория по производным тригонометрических функций

Примеры