Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения производных тригонометрических функций

Теория по производным тригонометрических функций

Производные тригонометрических функций равны соответственно:

    \[    (\sin x)' = \cos x \text{ };\text{ } (\cos x)' = -\sin x \]

Используя эти производные и правила дифференцирования, выведем формулу для нахождения производной функции y=\text{tg }x . Представим эту функции как y=\frac{\sin x}{\cos x} , тогда

    \[    y'= (\text{tg }x)' = \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' \]

Далее по правилу дифференцирования частного, получим

    \[    y'= \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)' = \frac{(\sin x)' \cos x - \sin x (\cos x)'}{\cos ^{2} x} = \frac{\cos x \cdot \cos x - \sin x \cdot (-\sin x)}{\cos ^{2} x} = \frac{\cos ^{2} x + \sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} \]

Учитывая, что в числителе у нас записано основное тригонометрическое тождество, окончательно получим:

    \[    (\text{tg }x)' = \frac{1}{\cos ^{2} x} \]

Аналогично можно вывести формулу для котангенса

    \[    (\text{ctg }x)' = -\frac{1}{\sin ^{2} x} \]

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции y = \text{tg }x - \text{ctg }x
Решение Производная разности равна разности производных

    \[    y' = \left( \text{tg }x - \text{ctg }x \right)' = \left( \text{tg }x \right)' - \left( \text{ctg }x \right)' =  \frac{1}{\cos ^{2} x} - \left( -\frac{1}{\sin ^{2} x} \right) = \frac{1}{\cos ^{2} x} + \frac{1}{\sin ^{2} x} \]

Преобразуем полученное выражение, используя основное тригонометрическое тождество и формулы двойного угла:

    \[    y' = \frac{1}{\cos ^{2} x} + \frac{1}{\sin ^{2} x} =  \frac{ \sin ^{2} x + \cos ^{2} x}{\sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x} = \frac{1}{\sin ^{2} x \cdot \cos ^{2} x} \cdot \frac{4}{4} = \frac{4}{\left( 2 \sin x \cdot \cos x \right)^{2}} = \frac{4}{\sin ^{2} 2x} \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции y=\cos (3x+1)
Решение Заданная функция является сложной и её производная равна произведению производной от косинуса на производную от его аргумента:

    \[    y' = \left( \cos (3x+1) \right)' = - \sin (3x+1) \cdot (3x+1)' = - \sin (3x+1) \cdot (3 \cdot 1 + 0) = - 3\sin (3x+1) \]

Ответ y' = - 3 \sin (3x+1)
ПРИМЕР 3
Задание Найти производную функции y=\sin \sqrt{x}
Решение Заданная функция является сложной, поэтому сначала находим производную от синуса (косинус того же аргумента) и так как аргумент есть выражением более сложным, чем просто x, то умножаем её на производную от \sqrt{x} , получим:

    \[    y' = \left( \sin \sqrt{x} \right)' = \cos \sqrt{x} \cdot \left( \sqrt{x} \right)' = \cos \sqrt{x} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{\cos \sqrt{x}}{2 \sqrt{x}} \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Найти производную от функции y = \sin ^{2} x
Решение Данная функция является сложной функции. По правилу нахождения производной сложной функции, сначала, найдем производную от неё как от степенной функции, а затем найдем производную от аргумента. В данном случае, аргументом есть функция \sin x и производная от неё равна (\sin x)'=\cos x . Перемножив эти производные, получим:

    \[    y' = \left( \sin ^{2} x \right)' = 2 \sin x \cdot (\sin x)' = 2 \sin x \cdot \cos x = \sin 2x \]

Ответ y'= \sin 2x
ПРИМЕР 5
Задание Найти производную функции

    \[    y = \frac{1}{\text{tg }^{3} x} \]

Решение Перепишем заданную функцию следующим образом:

    \[    y = \frac{1}{\text{tg }^{3} x}  = \text{tg }^{-3} x \]

Производную от этой функции будем находить по правилу нахождения производной сложной функции. Сначала как от степенной функции, а затем – от аргумента как от тригонометрической. Получим:

    \[    y' = \left( \text{tg }^{-3} x \right)' = -3 \text{tg } ^{-2} x \cdot (\text{tg } x)' = \frac{-3}{\text{tg }^{2}x} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} \]

Преобразуем полученное выражение, представляя

    \[    \text{tg }^{2} x = \frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x} \]

    \[    y' = \frac{-3}{\frac{\sin ^{2} x}{\cos ^{2} x}} \cdot \frac{1}{\cos ^{2} x} = \frac{-3}{\sin ^{2} x} \]

Ответ