Примеры решения производных

Теория про производные

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, если такой предел существует.

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

На практике для нахождения производной чаще всего используют таблицу производных и основные правила вычисления производных:

Линейность: $(\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x))' = \alpha \cdot f'(x) + \beta \cdot g'(x)$
Производная произведения: $(f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)$
Производная частного:
$\left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)}$

Примеры

ПРИМЕР 1

Задание

Найти производную функции $f(x) = x^{3}+2x^{2}-3x+5$

Решение

По свойству линейности производной, получим:

$f'(x) = \left( x^{3}+2x^{2}-3x+5 \right)' = \left( x^{3} \right)'+\left( 2x^{2} \right)'-\left( 3x \right)'+\left( 5 \right)' = \left( x^{3} \right)'+ 2 \cdot \left( x^{2} \right)'- 3 \cdot \left( x \right)'+\left( 5 \right)'$

Далее воспользуемся таблицей производных элементарных функций:

$f'(x) = \left( x^{3} \right)'+ 2 \cdot \left( x^{2} \right)'- 3 \cdot \left( x \right)'+\left( 5 \right)' = 3x^{2} + 2 \cdot 2x - 3 \cdot 1 + 0 = 3x^{2} + 4x-3$

Ответ

$f'(x) = 3x^{2} + 4x-3$

ПРИМЕР 2

Задание

Найти производную функции $f(x) = \text{arctg } x + 2 \ln x$

Решение

Производная суммы равна сумме производных и вынесем константу во втором слагаемом:

$f'(x) = \left( \text{arctg } x + 2 \ln x \right)' = \left( \text{arctg } x \right)' + \left( 2 \ln x \right)' = \left( \text{arctg } x \right)' + 2 \cdot \left( \ln x \right)'$

Далее используя таблицу производных, получим:

$f'(x) = \left( \text{arctg } x \right)' + 2 \cdot \left( \ln x \right)' = \frac{1}{1+x^{2}} + \frac{2}{x}$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Найти производную функции $f(x) = (5x-3) \cdot 2^{x}$

Решение

Используя правило дифференцирования произведения, получим:

$f'(x) = \left( (5x-3) \cdot 2^{x} \right)' = (5x-3)' \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot \left( 2^{x} \right)'$

Далее воспользуемся таблицей производных для степенной и показательной функций, а также правилом дифференцирования разности:

$f'(x) = (5x-3)' \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot \left( 2^{x} \right)' = (5 \cdot 1 - 0) \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot 2^{x} \ln 2 =$

$= 5 \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot 2^{x} \ln 2$

Ответ

$f'(x) = 5 \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot 2^{x} \ln 2$

ПРИМЕР 4

Задание

Найти производную функции

$f(x) = \frac{\ln x}{x^{2}}$

Решение

По правилу дифференцирования частного имеем:

$f'(x) = \left( \frac{\ln x}{x^{2}} \right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x^{2} - \ln x \cdot (x^{2})'}{\left( x^{2} \right)^{2}}$

Применяя таблицу производных для степенной и логарифмической функций и преобразовывая полученное выражение, получим:

$f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x^{2} - \ln x \cdot (x^{2})'}{\left( x^{2} \right)^{2}} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{2} - \ln x \cdot 2x}{x^{4}} = \frac{x -2x \ln x}{x^{4}} =$

$= \frac{x (1-2 \ln x)}{x^{4}} = \frac{1-2 \ln x}{x^{3}}$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Найти производную функции

$f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} \cdot e^{x}}$

Решение

Представим заданную функцию в виде степени с отрицательным показателем, то есть $f(x) = \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-1}$ . По правилу дифференцирования сложной функции, сначала возьмем производную от исходной функции, как от степенной:

$f'(x) = \left( \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-1} \right)' = -\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-2} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)'$

Далее учитывая правило дифференцирования произведения двух функций, получим:

$f'(x) = -\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-2} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)' = -\frac{1}{\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{2}} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)' = - \frac{\left( \sqrt{x} \right)' \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot \left( e^{x} \right)'}{x \cdot e^{2x}}$

Найдем необходимые производные, используя таблицу производных:

$f'(x) = - \frac{\left( \sqrt{x} \right)' \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot \left( e^{x} \right)'}{x \cdot e^{2x}} = -\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot e^{x}}{x \cdot e^{2x}}$

Преобразовывая полученное выражение, окончательно получим

$f'(x) = -\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot e^{x}}{x \cdot e^{2x}} = -\frac{e^{x}+ 2x \cdot e^{x}}{2x \sqrt{x} \cdot e^{2x}} =- \frac{e^{x}(2x+1)}{2x \sqrt{x} \cdot e^{2x}} = -\frac{2x+1}{2x \sqrt{x} \cdot e^{x}}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения производных

Теория про производные

Примеры