Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры решения производных

Теория про производные

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Производная функции есть предел отношения приращения этой функции к приращению её аргумента при стремлении последнего к нулю, если такой предел существует.

Процесс отыскания производной называется дифференцированием.

На практике для нахождения производной чаще всего используют таблицу производных и основные правила вычисления производных:

  1. Линейность: (\alpha \cdot f(x) + \beta \cdot g(x))' = \alpha \cdot f'(x) + \beta \cdot g'(x)
  2. Производная произведения: (f(x) \cdot g(x))' = f'(x) \cdot g(x) + f(x) \cdot g'(x)
  3. Производная частного:

        \[    \left( \frac{f(x)}{g(x)} \right)' = \frac{f'(x) \cdot g(x) - f(x) \cdot g'(x)}{g^{2}(x)} \]

Примеры

ПРИМЕР 1
Задание Найти производную функции f(x) = x^{3}+2x^{2}-3x+5
Решение По свойству линейности производной, получим:

    \[    f'(x) = \left( x^{3}+2x^{2}-3x+5 \right)' = \left( x^{3} \right)'+\left( 2x^{2} \right)'-\left( 3x \right)'+\left( 5 \right)' = \left( x^{3} \right)'+ 2 \cdot \left( x^{2} \right)'- 3 \cdot \left( x \right)'+\left( 5 \right)' \]

Далее воспользуемся таблицей производных элементарных функций:

    \[    f'(x) = \left( x^{3} \right)'+ 2 \cdot \left( x^{2} \right)'- 3 \cdot \left( x \right)'+\left( 5 \right)' = 3x^{2} + 2 \cdot 2x - 3 \cdot 1 + 0 = 3x^{2} + 4x-3 \]

Ответ f'(x) = 3x^{2} + 4x-3
ПРИМЕР 2
Задание Найти производную функции f(x) = \text{arctg } x + 2 \ln x
Решение Производная суммы равна сумме производных и вынесем константу во втором слагаемом:

    \[    f'(x) = \left( \text{arctg } x + 2 \ln x \right)' = \left( \text{arctg } x \right)' + \left( 2 \ln x \right)' = \left( \text{arctg } x \right)' + 2 \cdot \left( \ln x \right)' \]

Далее используя таблицу производных, получим:

    \[    f'(x)  = \left( \text{arctg } x \right)' + 2 \cdot \left( \ln x \right)' = \frac{1}{1+x^{2}} + \frac{2}{x} \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти производную функции f(x) = (5x-3) \cdot 2^{x}
Решение Используя правило дифференцирования произведения, получим:

    \[    f'(x) = \left( (5x-3) \cdot 2^{x} \right)' = (5x-3)' \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot \left( 2^{x} \right)' \]

Далее воспользуемся таблицей производных для степенной и показательной функций, а также правилом дифференцирования разности:

    \[    f'(x) = (5x-3)' \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot \left( 2^{x} \right)' = (5 \cdot 1 - 0) \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot 2^{x} \ln 2 = \]

    \[    = 5 \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot 2^{x} \ln 2 \]

Ответ f'(x) = 5 \cdot 2^{x} + (5x-3) \cdot 2^{x} \ln 2
ПРИМЕР 4
Задание Найти производную функции

    \[    f(x) = \frac{\ln x}{x^{2}} \]

Решение По правилу дифференцирования частного имеем:

    \[    f'(x) = \left( \frac{\ln x}{x^{2}} \right)' = \frac{(\ln x)' \cdot x^{2} - \ln x \cdot (x^{2})'}{\left( x^{2} \right)^{2}} \]

Применяя таблицу производных для степенной и логарифмической функций и преобразовывая полученное выражение, получим:

    \[    f'(x) = \frac{(\ln x)' \cdot x^{2} - \ln x \cdot (x^{2})'}{\left( x^{2} \right)^{2}} = \frac{\frac{1}{x} \cdot x^{2} - \ln x \cdot 2x}{x^{4}} = \frac{x -2x \ln x}{x^{4}} = \]

    \[    = \frac{x (1-2 \ln x)}{x^{4}} = \frac{1-2 \ln x}{x^{3}} \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Найти производную функции

    \[    f(x) = \frac{1}{\sqrt{x} \cdot e^{x}} \]

Решение Представим заданную функцию в виде степени с отрицательным показателем, то есть f(x) = \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-1}. По правилу дифференцирования сложной функции, сначала возьмем производную от исходной функции, как от степенной:

    \[    f'(x) = \left( \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-1} \right)' = -\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-2} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)' \]

Далее учитывая правило дифференцирования произведения двух функций, получим:

    \[    f'(x) = -\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{-2} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)' = -\frac{1}{\left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)^{2}} \cdot \left( \sqrt{x} \cdot e^{x} \right)' = - \frac{\left( \sqrt{x} \right)' \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot \left( e^{x} \right)'}{x \cdot e^{2x}} \]

Найдем необходимые производные, используя таблицу производных:

    \[    f'(x) = - \frac{\left( \sqrt{x} \right)' \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot \left( e^{x} \right)'}{x \cdot e^{2x}} = -\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot e^{x}}{x \cdot e^{2x}} \]

Преобразовывая полученное выражение, окончательно получим

    \[    f'(x) = -\frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot e^{x} + \sqrt{x} \cdot e^{x}}{x \cdot e^{2x}} = -\frac{e^{x}+ 2x \cdot e^{x}}{2x \sqrt{x} \cdot e^{2x}} =- \frac{e^{x}(2x+1)}{2x \sqrt{x} \cdot e^{2x}} = -\frac{2x+1}{2x \sqrt{x} \cdot e^{x}} \]

Ответ