Примеры интегрирования тригонометрических функций

Чтобы привести интеграл, содержащий тригонометрические функции, к интегралу, который выражается в элементарных функциях, используют тригонометрические формулы, такие как: формулы понижения степени, формулы произведения тригонометрических функций, формулы двойного угла и т.д. В случае если, интеграл не может быть приведен к интегралу, который выражается в элементарных функциях, используют метод замены переменной или внесения под знак дифференциала.

ПРИМЕР 1

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \sin ^{2} x dx$

Решение

Понизим степень синуса, используя тригонометрическую формулу понижения степени, получим

$\int \sin ^{2} x dx = \int \frac{(1-\cos 2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x dx$

Во втором интеграле внесем $2x$ под дифференциал:

$\int \sin ^{2} x dx = \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \cos 2x d(2x) =$

$= \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2x + C$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \cos 5x \sin 6x dx$

Решение

Преобразуем подынтегральное выражение, используя формулу произведения тригонометрических функций:

$\int \cos 5x \sin 6x dx = \frac{1}{2} \int \left( \sin (5x-6x)+\sin (5x+6x) \right) dx = \frac{1}{2} \int \left( \sin (-x)+\sin 11x \right) dx =$

Учитывая, что синус функция нечетная, получим:

$\int \cos 5x \sin 6x dx = \frac{1}{2} \int \left( \sin (-x)+\sin 11x \right) dx = - \frac{1}{2} \int \sin x dx + \frac{1}{2} \int \sin 11 x dx =$

$= \frac{\cos x}{2} - \frac{\cos 11 x}{2 \cdot 11} + C = \frac{\cos x}{2} - \frac{\cos 11 x}{22} + C$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Найти интеграл тригонометрической функции

$\int \cos ^{3} x dx$

Решение

В подынтегральном выражении выделим первую степень косинуса, получим:

$\int \cos ^{3} x dx = \int \cos ^{2} x \cdot \cos x dx$

Преобразуем подынтегральное выражение, используя основное тригонометрическое тождество:

$\int \cos ^{3} x dx = \int \cos ^{2} x \cdot \cos x dx = \int (1-\sin ^{2} x) \cdot \cos x dx$

Далее внесем косинус под знак дифференциала

$\int \cos ^{3} x dx = \int (1-\sin ^{2} x) \cdot \cos x dx = \int (1-\sin ^{2} x) d (\sin x) =$

$= \int d (\sin x) - \int \sin ^{2}x d (\sin x) = \sin x - \frac{\sin ^{3} x}{3} + C$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Найти интеграл

$\int \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} dx$

Решение

Преобразуем подынтегральное выражение

$\int \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{dx}{\cos ^{2} x} = \int \text{tg }x \cdot \frac{dx}{\cos ^{2} x}$

Введем замену $\text{tg }x=t$ , тогда $\frac{dx}{\cos ^{2} x}=dt$ . Подставим все полученные формулы в последний интеграл:

$\int \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} dx = \int \text{tg }x \cdot \frac{dx}{\cos ^{2} x} = \int t dt = \frac{t^{2}}{2} + C$

Делая обратную замену $t=\text{tg }x$ , получим:

$\int \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} dx = \frac{t^{2}}{2} + C = \frac{\text{tg}^{2} x}{2} + C$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Вычислить интеграл тригонометрической функции

$\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} 2x \cos 2x dx$

Решение

Вычислять этот интеграл будем, используя метод замены переменной. Введем замену в исходный интеграл

$\sin 2x = t \text{ } \Rightarrow \text{ } 2 \cos 2x dx= dt \text{ } \Rightarrow \text{ } \cos 2x dx = \frac{dt}{2}$

Вычислим новые пределы интегрирования

$x = \frac{\pi}{6} \text{ } \Rightarrow \text{ } t = \sin \left( \frac{2\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2}$

$x = \frac{\pi}{4} \text{ } \Rightarrow \text{ } t = \sin \left( \frac{2\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{2}=1$

Подставляя, введенную замену, в исходный интеграл, получим:

$\int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} 2x \cos 2x dx = \int _{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} t^{2} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int _{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} t^{2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3}}{3} \bigg| _{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} =$

$= \frac{1}{6} \left( 1^{3} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{3} \right) = \frac{48 - 3 \sqrt{3}}{48}$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры интегрирования тригонометрических функций