Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры интегрирования тригонометрических функций

Чтобы привести интеграл, содержащий тригонометрические функции, к интегралу, который выражается в элементарных функциях, используют тригонометрические формулы, такие как: формулы понижения степени, формулы произведения тригонометрических функций, формулы двойного угла и т.д. В случае если, интеграл не может быть приведен к интегралу, который выражается в элементарных функциях, используют метод замены переменной или внесения под знак дифференциала.

ПРИМЕР 1
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \sin ^{2} x dx \]

Решение Понизим степень синуса, используя тригонометрическую формулу понижения степени, получим

    \[    \int \sin ^{2} x dx = \int \frac{(1-\cos 2x)}{2} dx = \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x dx \]

Во втором интеграле внесем 2x под дифференциал:

    \[    \int \sin ^{2} x dx = \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \int \cos 2x dx = \frac{1}{2} \int dx - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} \int \cos 2x d(2x) = \]

    \[    = \frac{1}{2} x - \frac{1}{4} \sin 2x + C \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \cos 5x \sin 6x dx \]

Решение Преобразуем подынтегральное выражение, используя формулу произведения тригонометрических функций:

    \[    \int \cos 5x \sin 6x dx = \frac{1}{2} \int \left( \sin (5x-6x)+\sin (5x+6x) \right) dx = \frac{1}{2} \int \left( \sin (-x)+\sin 11x \right) dx = \]

Учитывая, что синус функция нечетная, получим:

    \[    \int \cos 5x \sin 6x dx = \frac{1}{2} \int \left( \sin (-x)+\sin 11x \right) dx = - \frac{1}{2} \int \sin x dx +  \frac{1}{2} \int \sin 11 x dx =  \]

    \[    = \frac{\cos x}{2} - \frac{\cos 11 x}{2 \cdot 11} + C = \frac{\cos x}{2} - \frac{\cos 11 x}{22} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти интеграл тригонометрической функции

    \[    \int \cos ^{3} x dx \]

Решение В подынтегральном выражении выделим первую степень косинуса, получим:

    \[    \int \cos ^{3} x dx = \int \cos ^{2} x \cdot \cos x dx \]

Преобразуем подынтегральное выражение, используя основное тригонометрическое тождество:

    \[    \int \cos ^{3} x dx = \int \cos ^{2} x \cdot \cos x dx = \int (1-\sin ^{2} x) \cdot \cos x dx \]

Далее внесем косинус под знак дифференциала

    \[    \int \cos ^{3} x dx = \int (1-\sin ^{2} x) \cdot \cos x dx = \int (1-\sin ^{2} x) d (\sin x) = \]

    \[    = \int d (\sin x) - \int \sin ^{2}x d (\sin x) = \sin x - \frac{\sin ^{3} x}{3} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Найти интеграл

    \[    \int \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} dx \]

Решение Преобразуем подынтегральное выражение

    \[    \int \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} dx = \int \frac{\sin x}{\cos x} \cdot \frac{dx}{\cos ^{2} x} = \int \text{tg }x \cdot \frac{dx}{\cos ^{2} x} \]

Введем замену \text{tg }x=t , тогда \frac{dx}{\cos ^{2} x}=dt . Подставим все полученные формулы в последний интеграл:

    \[    \int \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} dx = \int \text{tg }x \cdot \frac{dx}{\cos ^{2} x} = \int t dt = \frac{t^{2}}{2} + C \]

Делая обратную замену t=\text{tg }x , получим:

    \[    \int \frac{\sin x}{\cos ^{3} x} dx = \frac{t^{2}}{2} + C = \frac{\text{tg}^{2} x}{2} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить интеграл тригонометрической функции

    \[    \int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} 2x \cos 2x dx \]

Решение Вычислять этот интеграл будем, используя метод замены переменной. Введем замену в исходный интеграл

    \[    \sin 2x = t \text{ } \Rightarrow \text{ } 2 \cos 2x dx= dt \text{ } \Rightarrow \text{ } \cos 2x dx = \frac{dt}{2} \]

Вычислим новые пределы интегрирования

    \[    x = \frac{\pi}{6} \text{ } \Rightarrow \text{ } t = \sin \left( \frac{2\pi}{6} \right) = \sin \frac{\pi}{3}=\frac{\sqrt{3}}{2} \]

    \[    x = \frac{\pi}{4} \text{ } \Rightarrow \text{ } t = \sin \left( \frac{2\pi}{4} \right) = \sin \frac{\pi}{2}=1 \]

Подставляя, введенную замену, в исходный интеграл, получим:

    \[    \int _{\frac{\pi}{6}}^{\frac{\pi}{4}} \sin ^{2} 2x \cos 2x dx = \int _{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} t^{2} \frac{dt}{2} = \frac{1}{2} \int _{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} t^{2} dt = \frac{1}{2} \cdot \frac{t^{3}}{3} \bigg| _{\frac{\sqrt{3}}{2}}^{1} =  \]

    \[    = \frac{1}{6} \left( 1^{3} - \left( \frac{\sqrt{3}}{2} \right)^{3} \right) = \frac{48 - 3 \sqrt{3}}{48} \]

Ответ