Примеры решения пределов тригонометрических функций
При определении предела тригонометрической функции можно независимую переменную заменить её предельным значением, если оно принадлежит области существования функции. Если при вычислении предела получается неопределенность её можно разрешить, преобразовывая выражение с помощью тригонометрических формул.
Задание | Вычислить пределы
|
Решение | Подставим вместо значение, к которому оно стремиться:
В третьем примере предел не существует так как значение не определенно. |
Ответ |
Задание | Вычислить предел
|
Решение | Подставляя в заданное выражение , получим
То есть имеет место неопределенность . Для её разрешения преобразуем дробь с помощью тригонометрических формул. Учитывая основное тригонометрическое тождество, знаменатель дроби примет вид:
далее распишем разность квадратов, которая образовалась в знаменателе
Подставляя значение в последнее выражение, окончательно получим
|
Ответ |
Задание | Вычислить предел
|
Решение | Подставляя , получим
Имеем неопределенность . Распишем :
Распишем в знаменателе разность квадратов
Подставляя в последнее равенство значение , окончательно получим:
|
Ответ |
Задание | Вычислить предел, не используя первого замечательного предела
|
Решение | Подставим :
Получаем неопределенность . Преобразуем числитель, используя тригонометрическую формулу:
Поделим почленно числитель на знаменатель:
Подставляя в последнее выражение , получим:
|
Ответ |
Задание | Вычислить предел, не используя первого замечательного предела
|
Решение | Подставим :
получаем неопределенность . Для разрешения данной неопределенности, воспользуемся правилом Лопиталя. Согласно правилу Лопиталя
Подставляя в последнее равенство значение , будем иметь:
|
Ответ |