Примеры решения пределов тригонометрических функций

При определении предела тригонометрической функции можно независимую переменную заменить её предельным значением, если оно принадлежит области существования функции. Если при вычислении предела получается неопределенность её можно разрешить, преобразовывая выражение с помощью тригонометрических формул.

ПРИМЕР 1

Задание

Вычислить пределы

$1) \lim_{x \rightarrow 0} \cos x \text{ };\text{ } 2) \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sin 2x \text{ };\text{ } 3) \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \text{tg }x$

Решение

Подставим вместо $x$ значение, к которому оно стремиться:

$1) \lim_{x \rightarrow 0} \cos x = \cos 0 = 1$

$2) \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \sin 2x = \sin \left( 2 \cdot \frac{\pi}{2} \right) = \sin \pi = 0$

$3) \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \text{tg }x = \text{tg } \frac{\pi}{2} - \nexists$

В третьем примере предел не существует так как значение $\text{tg } \frac{\pi}{2}$ не определенно.

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1- \sin x}{\cos ^{2} x}$

Решение

Подставляя в заданное выражение $\frac{\pi}{2}$ , получим

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1- \sin x}{\cos ^{2} x} = \frac{1- \sin \frac{\pi}{2}}{\cos ^{2} \frac{\pi}{2}} = \frac{1-1}{0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$

То есть имеет место неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Для её разрешения преобразуем дробь с помощью тригонометрических формул. Учитывая основное тригонометрическое тождество, знаменатель дроби примет вид:

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1- \sin x}{\cos ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1- \sin x}{1 - \sin^{2} x}$

далее распишем разность квадратов, которая образовалась в знаменателе

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1- \sin x}{\cos ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1- \sin x}{1 - \sin^{2} x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1-\sin x}{(1-\sin x)(1+\sin x)} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin x}$

Подставляя значение $\frac{\pi}{2}$ в последнее выражение, окончательно получим

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1- \sin x}{\cos ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{2}} \frac{1}{1+\sin x} = \frac{1}{1+\sin \frac{\pi}{2}} = \frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Вычислить предел

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \text{tg }^{2} x}$

Решение

Подставляя $\frac{\pi}{4}$ , получим

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \text{tg }^{2} x} = \frac{\cos \frac{\pi}{4} - \sin \frac{\pi}{4}}{1 - \text{tg }^{2} \frac{\pi}{4}} = \frac{\frac{1}{\sqrt{2}} - \frac{1}{\sqrt{2}}}{1-1^{2}} = \left[ \frac{0}{0} \right]$

Имеем неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Распишем $\text{tg }x = \frac{\sin x}{\cos x}$ :

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \text{tg }^{2} x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \left( \frac{\sin x}{\cos x} \right)^{2}} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{( \cos x - \sin x ) \cos^{2} x }{\cos^{2} x - \sin ^{2} x}$

Распишем в знаменателе разность квадратов

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \text{tg }^{2} x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{( \cos x - \sin x ) \cos^{2} x }{\cos^{2} x - \sin ^{2} x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{( \cos x - \sin x ) \cos^{2} x }{( \cos x - \sin x )( \cos x + \sin x )} =$

$= \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos^{2} x }{\cos x + \sin x }$

Подставляя в последнее равенство значение $\frac{\pi}{4}$ , окончательно получим:

$\lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos x - \sin x}{1 - \text{tg }^{2} x} = \lim_{x \rightarrow \frac{\pi}{4}} \frac{\cos^{2} x }{\cos x + \sin x } = \frac{\cos^{2} \frac{\pi}{4} }{\cos \frac{\pi}{4} + \sin \frac{\pi}{4} } =$

$= \left( \frac{1}{\sqrt{2}} \right)^{2} : \left( \frac{1}{\sqrt{2}} + \frac{1}{\sqrt{2}} \right) = \frac{1}{2} : \frac{2}{\sqrt{2}} = \frac{1}{2} \cdot \frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{1}{2 \sqrt{2}}$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Вычислить предел, не используя первого замечательного предела

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{\sin x}$

Решение

Подставим $x=0$ :

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \left[ \frac{0}{0} \right]$

Получаем неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Преобразуем числитель, используя тригонометрическую формулу:

$\sin 3x =3 \sin x - 4 \sin ^{3} x$

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x - 4 \sin ^{3} x}{\sin x}$

Поделим почленно числитель на знаменатель:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{3 \sin x - 4 \sin ^{3} x}{\sin x} = \lim_{x \rightarrow 0} (3 - 4 \sin ^{2} x)$

Подставляя в последнее выражение $x=0$ , получим:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{\sin 3x}{\sin x} = \lim_{x \rightarrow 0} (3 - 4 \sin ^{2} x) = 3 - 4 \sin ^{2} 0 = 3 -4 \cdot 0 = 3$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Вычислить предел, не используя первого замечательного предела

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-x}{\sin x}$

Решение

Подставим $x=0$ :

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-x}{\sin x} = \frac{0^{2}-0}{\sin 0} = \left[ \frac{0}{0} \right]$

получаем неопределенность $\left[ \frac{0}{0} \right]$ . Для разрешения данной неопределенности, воспользуемся правилом Лопиталя. Согласно правилу Лопиталя

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-x}{\sin x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{(x^{2}-x)'}{(\sin x)'} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x-1}{\cos x}$

Подставляя в последнее равенство значение $x=0$ , будем иметь:

$\lim_{x \rightarrow 0} \frac{x^{2}-x}{\sin x} = \lim_{x \rightarrow 0} \frac{2x-1}{\cos x} = \frac{2 \cdot 0 -1}{\cos 0}=-1$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры решения пределов тригонометрических функций