Примеры интегрирования иррациональных функций
Иррациональной называется функция, у которой переменная находится под знаком корня. Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Для нахождения таких интегралов чаще всего используют метод замены переменной.
Задание | Найти неопределенный интеграл
|
Решение | Константу можно вынести за знак интеграла
Полученный интеграл является табличным («длинный логарифм») и равен |
Ответ | ![]() |
Задание | Найти интеграл иррациональной функции
|
Решение | Введем замену ![]() ![]() Сделаем обратную замену |
Ответ | ![]() |
Задание | Найти неопределенный интеграл
|
Решение | Запишем степени переменных в подынтегральном выражении следующим образом
Поделим почленно числитель на знаменатель, получим |
Ответ | ![]() |
Задание | Найти неопределенный интеграл
|
Решение | Введем замену ![]() ![]() Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Применим формулу для понижения степени: Сделаем обратную замену |
Ответ | ![]() |
Задание | Вычислить интеграл иррациональной функции
|
Решение | Вынесем из под корня 9 и воспользуемся свойством определенного интеграла с симметричными пределами интегрирования
![]() Получим: Введем замену переменной Пределы интегрирования изменятся следующим образом: при Преобразуем полученный интеграл, используя основное тригонометрическое тождество: Далее понизим степень косинуса: |
Ответ | ![]() |
