Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Примеры интегрирования иррациональных функций

Иррациональной называется функция, у которой переменная находится под знаком корня. Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Для нахождения таких интегралов чаще всего используют метод замены переменной.

ПРИМЕР 1
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \frac{2 dx}{\sqrt{x^{2}+4}} \]

Решение Константу можно вынести за знак интеграла

    \[    \int \frac{2 dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = 2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4}}  \]

Полученный интеграл является табличным («длинный логарифм») и равен

    \[    \int \frac{2 dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = 2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = 2 \ln |x + \sqrt{x^{2}+4}| + C \]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Найти интеграл иррациональной функции

    \[    \int \sqrt{x^{2}+3x+2} (2x+3) dx \]

Решение Введем замену x^{2}+3x+2=t , тогда (2x+3)dx=dt . Подставляя это в исходный интеграл, получим:

    \[    \int \sqrt{x^{2}+3x+2} (2x+3) dx = \int \sqrt{t}dt = \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2t \sqrt{t}}{3} + C \]

Сделаем обратную замену t=x^{2}+3x+2 , получим

    \[    \int \sqrt{x^{2}+3x+2} (2x+3) dx = \frac{2t \sqrt{t}}{3} + C = \frac{2}{3} (x^{2}+3x+2) \sqrt{x^{2}+3x+2} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}} dx \]

Решение Запишем степени переменных в подынтегральном выражении следующим образом

    \[    \int \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}} dx = \int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}} dx \]

Поделим почленно числитель на знаменатель, получим

    \[    \int \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}} dx = \int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}} dx = \int x^{\frac{1}{2} -\frac{1}{4}} dx - \int x^{\frac{1}{3} -\frac{1}{4}} dx = \int x^{\frac{1}{4}} dx - \int x^{\frac{1}{12}} dx =  \]

    \[    = \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} - \frac{x^{\frac{1}{12}+1}}{\frac{1}{12}+1} + C = \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{12 x^{\frac{13}{12}}}{13} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 4
Задание Найти неопределенный интеграл

    \[    \int \sqrt{1-x^{2}} dx \]

Решение Введем замену x = \sin t , тогда dx = \cos t dt . Подставим это в исходный интеграл:

    \[    \int \sqrt{1-x^{2}} dx = \int \sqrt{1-\sin^{2} t} \cos t dt \]

Используя основное тригонометрическое тождество, получим:

    \[    \int \sqrt{1-x^{2}} dx = \int \sqrt{1-\sin^{2} t} \cos t dt = \int \sqrt{\cos ^{2} t} \cos t dt =  \int \cos ^{2} t dt \]

Применим формулу для понижения степени:

    \[    \int \sqrt{1-x^{2}} dx =  \int \cos ^{2} t dt = \frac{1}{2} \int (1+\cos 2t) dt = \frac{1}{2} \int dt + \frac{1}{2} \int \cos 2t dt =  \]

    \[    = \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2t}{2} + C = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C = \frac{t}{2} + \frac{2 \sin t \cos t}{4} + C = \frac{t}{2} + \frac{\sin t \cos t}{2} + C \]

Сделаем обратную замену x = \sin t \text{ } \Rightarrow \text{ }t = \arcsin x , получим

    \[    \int \sqrt{1-x^{2}} dx = \frac{t}{2} + \frac{\sin t \cos t}{2} + C = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x \cos (\arcsin x)}{2} + C =  \]

    \[    =  \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2} + C \]

Ответ
ПРИМЕР 5
Задание Вычислить интеграл иррациональной функции

    \[    \int _{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} dx \]

Решение Вынесем из под корня 9 и воспользуемся свойством определенного интеграла с симметричными пределами интегрирования

Получим:

    \[    \int _{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} dx = 3 \cdot 2 \int _{0}^{3} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} dx = 6 \int _{0}^{3} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} dx \]

Введем замену переменной

    \[    \frac{x}{3} \text{ },\text{ } x = 3 \sin t \text{ },\text{ } dx = 3 \cos t dt \]

Пределы интегрирования изменятся следующим образом: при x=3 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sin t =1 \text{ } \Rightarrow \text{ } t = \frac{\pi}{2} ; при s\in t = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t=0 . Подставим все в исходный интеграл:

    \[    \int _{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} dx = 6 \int _{0}^{3} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} dx = 6 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \frac{9 \sin ^{2} t}{9}} \cdot 3 \cos t dt = \]

    \[    = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \sin ^{2} t} \cos t dt \]

Преобразуем полученный интеграл, используя основное тригонометрическое тождество:

    \[    \int _{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} dx = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \sin ^{2} t} \cos t dt = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^{2} t} \cos t dt = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t dt \]

Далее понизим степень косинуса:

    \[    \int _{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} dx = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t dt = \frac{18}{2} \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2t) dt = 9t \bigg| _{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{9}{2} \cdot \sin 2t \bigg| _{0}^{\frac{\pi}{2}} =  \]

    \[    = 9 \left( \frac{\pi}{2}- 0 \right) + \frac{9}{2} \left( \sin \frac{2 \pi}{2} - \sin 0 \right) = 4,5 \pi \]

Ответ