Примеры интегрирования иррациональных функций

Иррациональной называется функция, у которой переменная находится под знаком корня. Не для всякой иррациональной функции можно найти первообразную в виде элементарной функции. Для нахождения таких интегралов чаще всего используют метод замены переменной.

ПРИМЕР 1

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \frac{2 dx}{\sqrt{x^{2}+4}}$

Решение

Константу можно вынести за знак интеграла

$\int \frac{2 dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = 2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4}}$

Полученный интеграл является табличным («длинный логарифм») и равен

$\int \frac{2 dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = 2 \int \frac{dx}{\sqrt{x^{2}+4}} = 2 \ln |x + \sqrt{x^{2}+4}| + C$

Ответ

ПРИМЕР 2

Задание

Найти интеграл иррациональной функции

$\int \sqrt{x^{2}+3x+2} (2x+3) dx$

Решение

Введем замену $x^{2}+3x+2=t$ , тогда $(2x+3)dx=dt$ . Подставляя это в исходный интеграл, получим:

$\int \sqrt{x^{2}+3x+2} (2x+3) dx = \int \sqrt{t}dt = \frac{t^{\frac{3}{2}}}{\frac{3}{2}} + C = \frac{2t \sqrt{t}}{3} + C$

Сделаем обратную замену $t=x^{2}+3x+2$ , получим

$\int \sqrt{x^{2}+3x+2} (2x+3) dx = \frac{2t \sqrt{t}}{3} + C = \frac{2}{3} (x^{2}+3x+2) \sqrt{x^{2}+3x+2} + C$

Ответ

ПРИМЕР 3

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}} dx$

Решение

Запишем степени переменных в подынтегральном выражении следующим образом

$\int \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}} dx = \int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}} dx$

Поделим почленно числитель на знаменатель, получим

$\int \frac{\sqrt{x} - \sqrt[3]{x}}{\sqrt[4]{x}} dx = \int \frac{x^{\frac{1}{2}} - x^{\frac{1}{3}}}{x^{\frac{1}{4}}} dx = \int x^{\frac{1}{2} -\frac{1}{4}} dx - \int x^{\frac{1}{3} -\frac{1}{4}} dx = \int x^{\frac{1}{4}} dx - \int x^{\frac{1}{12}} dx =$

$= \frac{x^{\frac{1}{4}+1}}{\frac{1}{4}+1} - \frac{x^{\frac{1}{12}+1}}{\frac{1}{12}+1} + C = \frac{4 x^{\frac{5}{4}}}{5} - \frac{12 x^{\frac{13}{12}}}{13} + C$

Ответ

ПРИМЕР 4

Задание

Найти неопределенный интеграл

$\int \sqrt{1-x^{2}} dx$

Решение

Введем замену $x = \sin t$ , тогда $dx = \cos t dt$ . Подставим это в исходный интеграл:

$\int \sqrt{1-x^{2}} dx = \int \sqrt{1-\sin^{2} t} \cos t dt$

Используя основное тригонометрическое тождество, получим:

$\int \sqrt{1-x^{2}} dx = \int \sqrt{1-\sin^{2} t} \cos t dt = \int \sqrt{\cos ^{2} t} \cos t dt = \int \cos ^{2} t dt$

Применим формулу для понижения степени:

$\int \sqrt{1-x^{2}} dx = \int \cos ^{2} t dt = \frac{1}{2} \int (1+\cos 2t) dt = \frac{1}{2} \int dt + \frac{1}{2} \int \cos 2t dt =$

$= \frac{t}{2} + \frac{1}{2} \cdot \frac{\sin 2t}{2} + C = \frac{t}{2} + \frac{\sin 2t}{4} + C = \frac{t}{2} + \frac{2 \sin t \cos t}{4} + C = \frac{t}{2} + \frac{\sin t \cos t}{2} + C$

Сделаем обратную замену $x = \sin t \text{ } \Rightarrow \text{ }t = \arcsin x$ , получим

$\int \sqrt{1-x^{2}} dx = \frac{t}{2} + \frac{\sin t \cos t}{2} + C = \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x \cos (\arcsin x)}{2} + C =$

$= \frac{\arcsin x}{2} + \frac{x \sqrt{1-x^{2}}}{2} + C$

Ответ

ПРИМЕР 5

Задание

Вычислить интеграл иррациональной функции

$\int _{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} dx$

Решение

Вынесем из под корня 9 и воспользуемся свойством определенного интеграла с симметричными пределами интегрирования

Получим:

$\int _{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} dx = 3 \cdot 2 \int _{0}^{3} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} dx = 6 \int _{0}^{3} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} dx$

Введем замену переменной

$\frac{x}{3} \text{ },\text{ } x = 3 \sin t \text{ },\text{ } dx = 3 \cos t dt$

Пределы интегрирования изменятся следующим образом: при $x=3 \text{ } \Rightarrow \text{ } \sin t =1 \text{ } \Rightarrow \text{ } t = \frac{\pi}{2}$ ; при $s\in t = 0 \text{ } \Rightarrow \text{ } t=0$ . Подставим все в исходный интеграл:

$\int _{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} dx = 6 \int _{0}^{3} \sqrt{1 - \frac{x^{2}}{9}} dx = 6 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \frac{9 \sin ^{2} t}{9}} \cdot 3 \cos t dt =$

$= 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \sin ^{2} t} \cos t dt$

Преобразуем полученный интеграл, используя основное тригонометрическое тождество:

$\int _{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} dx = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{1 - \sin ^{2} t} \cos t dt = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \sqrt{\cos^{2} t} \cos t dt = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t dt$

Далее понизим степень косинуса:

$\int _{-3}^{3} \sqrt{9-x^{2}} dx = 18 \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos ^{2} t dt = \frac{18}{2} \int _{0}^{\frac{\pi}{2}} (1+\cos 2t) dt = 9t \bigg| _{0}^{\frac{\pi}{2}} + \frac{9}{2} \cdot \sin 2t \bigg| _{0}^{\frac{\pi}{2}} =$

$= 9 \left( \frac{\pi}{2}- 0 \right) + \frac{9}{2} \left( \sin \frac{2 \pi}{2} - \sin 0 \right) = 4,5 \pi$

Ответ

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Примеры интегрирования иррациональных функций