Коэффициент сопротивления

Коэффициент сопротивления дает возможность учитывать потери энергии при движении тела. Чаще всего рассматривают два типа движения: движение по поверхности и движение в веществе (жидкости или газе). Если рассматривают движение по опоре, то обычно говорят о коэффициенте трения. В том случае, если рассматривают движение тела в жидкости или газе, то имеют в виду коэффициент сопротивления формы.

Определение коэффициента сопротивления (трения) скольжения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициентом сопротивления (трения) называют коэффициент пропорциональности, связывающий силу трения ( $F_{tr}$ ) и силу нормального давления (N) тела на опору. Обычно данный коэффициент обозначают греческой буквой $\mu$ . В таком случае коэффициент трения определим как:

$\mu =\frac{F_{tr}}{N}\left(1\right)$

Речь идет о коэффициенте трения скольжения, который зависит от совокупных свойств трущихся поверхностей и является безразмерной величиной. Коэффициент трения зависит от: качества обработки поверхностей, трущихся тел, присутствия на них грязи, скорости движения тел друг относительно друга и т.д. Коэффициент трения определяют эмпирически (опытным путем).

Определение коэффициент сопротивления (трения) качения

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициент сопротивления (трения) качения обозначают чаще буквой $k$ . Его можно определить с помощью отношения момента силы трения качения ( $M_{tr}$ ) к силе с которой тело прижимается к опоре (N):

$k=\frac{M_{tr}}{N}\left(2\right)$

Данный коэффициент, имеет размерность длины. Основной его единицей в системе СИ будет метр.

Определение коэффициента сопротивления формы

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Коэффициент сопротивления формы — физическая величина, которая определяет реакцию вещества на перемещение тела внутри нее. Можно сказать иначе: это физическая величина, которая определяет реакцию тела на движение в веществе. Данный коэффициент определяется эмпирически, его определением служит формула:

$C=\frac{2F}{\rho v^2S}\left(3\right),$

где $F$ — сила сопротивления, $\rho$ — плотность вещества, $v$ — скорость течения вещества (или скорость движения тела в веществе), $S-$ площадь проекции тела на плоскость перпендикулярную к направлению движения (перпендикулярная потоку).

Иногда, если рассматривают движение вытянутого тела, то считают:

$S=V^{\frac{2}{3}}\left(4\right),$

где V — объем тела.

Рассматриваемый коэффициент сопротивления является безразмерной величиной. Он не учитывает эффектов на поверхности тел, поэтому формула (3) может стать не пригодна, если рассматривается вещество, которое имеет большую вязкость. Коэффициент сопротивления (C) является постоянной величиной пока число Рейнольдса (Re) является неизменным. В общем случае $C=f(Re)$ .

Если тело имеет острые ребра, то эмпирически получено, что для таких тел коэффициент сопротивления остается постоянным в широкой области чисел Рейнольдса. Так опытным путем получено, что для круглых пластинок поставленных поперек воздушного потока, при $4000\le Re\le 1000000$ значения коэффициента сопротивления находятся в пределах от 1,1 до 1,12. При уменьшении числа Рейнольдса ( $Re\le 0,5$ ) закон сопротивления переходит в закон Стокса, который для круглых пластинок имеет вид:

$C=\frac{20,4}{Re}\left(5\right)$

Сопротивление шаров было исследовано для широкой области чисел Рейнольдса до $Re\approx 3\cdot {10}^6.$ Для $Re<0,4$ получили:

$C=\frac{24}{Re}\left(6\right)$

При $Re={10}^6$ , $C=0,14$ .

В справочниках представлены коэффициенты сопротивления для круглых цилиндров, шаров и круглых пластинок в зависимости от числа Рейнольдса.

В авиационной технике задача о нахождении формы тела с минимальным сопротивлением имеет особое значение.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Максимальная скорость автомобиля на горизонтальном участке дороги равна $v$ при максимальной мощности его равной P. Коэффициент лобового сопротивления автомобиля C, а наибольшая площадь сечения в направлении, перпендикулярном скорости S. Автомобиль подвергся реконструкции, наибольшую площадь сечения в направлении, перпендикулярном скорости уменьшили до величины $S'$ , оставив коэффициент сопротивления без изменения. Считайте силу трения о поверхность дороги неизменной, найдите какова максимальная мощность автомобиля, если его скорость на горизонтальном участке дороги стала равна $v'$ . Плотность воздуха равна $\rho$ .

Решение

Сделаем рисунок.

Рис. 1

Мощность автомобиля определим как:

$P=F_tv\left(1.1\right),$

где $F_t$ — сила тяги автомобиля.

Считая, что автомобиль на горизонтальном участке дороги движется с постоянной скоростью, запишем второй закон Ньютона в виде:

${\overline{F}}_t+m\overline{g}+\overline{N}+{\overline{F}}_{tr}+\overline{F}=0\left(1.2\right)$

В проекции на ось X (рис.1), имеем:

$F_t-F_{tr}-F=0\to F_t=F+F_{tr}\left(1.3\right)$

Силу сопротивления, которую испытывает автомобиль, двигаясь в воздухе, выразим как:

$F=C\frac{\rho v^2}{2}S\left(1.4\right)$

Тогда мощность автомобиля можно записать:

$P=\left(C\frac{\rho v^2}{2}S+F_{tr}\right)v\left(1.5\right)$

Выразим из (1.5) силу трения автомобиля о дорогу:

$F_{tr}=\frac{P}{v}-C\frac{\rho v^2}{2}S\left(1.6\right)$

Запишем выражение для мощности, но с изменёнными по условию задачи параметрами автомобиля:

$P'=\left(C\frac{\rho {v'}^2}{2}S'+F_{tr}\right)v'\left(1.7\right)$

Учтем, что сила трения автомобиля о дорогу не изменилась, и примем во внимание выражение (1.6):

$P'=\left(C\frac{\rho {v'}^2}{2}S'+\frac{P}{v}-C\frac{\rho v^2}{2}S\right)v'$

Ответ

$P'=\left(C\frac{\rho {v'}^2}{2}S'+\frac{P}{v}-C\frac{\rho v^2}{2}S\right)v'$

ПРИМЕР 2

Задание

Какова максимальная скорость шарика, который свободно падает в воздухе, если известны: плотность шарика ( ${\rho }_{sh}$ ), плотность воздуха ( $\rho$ ), масса шарика ( $m$ ), коэффициент сопротивления C?