Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула индукции магнитного поля

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Векторной характеристикой магнитного поля является вектор магнитной индукции. Его обозначают как: \overline{B}.

Направлением вектора магнитной индукции считают направление на север магнитной стрелки, которая может свободно вращаться в магнитном поле. Такое же направление имеет положительная нормаль к замкнутому контуру, по которому течет ток. Положительная нормаль имеет направление, совпадающее с направлением перемещения правого винта (буравчика), если его вращают по направлению тока в контуре.

Модуль вектора магнитной индукции можно установить, используя силу, которая действует на проводники с током, помещенные в магнитное поле (силу Ампера). Тогда модуль вектора \overline{B} равен частному от деления максимальной силы (F_{max}), с которой магнитное поле оказывает воздействие на отрезок проводника с током (I) к произведению силы тока на длину проводника (\Delta l):

    \[B=\frac{F_{max}}{I\Delta l} \qquad(1)\]

Рассматривая силу Лоренца, которая действует на заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, получают формулу для магнитной индукции в виде:

    \[B=\frac{F_L}{qv\sin \alpha \ } } \qquad(2)\]

где F_L – модуль силы Лоренца; q – заряд частицы, движущейся со скоростью v в магнитном поле; \alpha – это угол между векторами \overline{v} и \overline{B}. Направления {\overline{F}}_L, векторов \overline{v} и \overline{B} связаны между собой правилом левой руки.

Формулой, которая определяет величину вектора магнитной индукции в данной точке магнитного поля, считают так же следующее выражение:

    \[B=\frac{M_{max}}{p_m} \qquad(3)\]

где M_{max} – максимальный вращающий момент, действующий на рамку, которая обладает магнитным моментом p_m, равным единице, если нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля. Вращающий момент (M), действующий на контур с током I в однородном магнитном поле можно вычислить как:

    \[M=BIS{\sin \alpha }  \qquad(4)\]

где S – площадь, которую обтекает ток I. Следует помнить, что максимальный вращающий момент получается тогда, когда плоскость контура параллельна линиям магнитной индукции поля ({\sin \alpha } =1).

Принцип суперпозиции магнитных полей

Если магнитное поле получается в результат наложения нескольких магнитных полей то, магнитная индукция поля (\overline{B}), может быть найдена как векторная сумма магнитных индукций отдельных полей ({\overline{B}}_i):

    \[\overline{B}=\sum^N_{i=1}{{\overline{B}}_i}\ \qquad(5)\]

Закон Био-Савара-Лапласа, как формула для вычисления величины индукции магнитного поля

Закон Био-Савара – Лапласа является одним из распространенных законов, который позволяет вычислить вектор магнитной индукции (d\overline{B}) в любой точке магнитного поля, создаваемого в вакууме элементарным проводником с током:

    \[d\overline{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^3}\left[d\overline{l}\overline{r}\right]\ \qquad(6)\]

где I – сила тока; d\overline{l} – вектор элементарный проводник по модулю он равен длине проводника, при этом его направление совпадает с направлением течения тока; \overline{r} – радиус-вектор, который проводят от элементарного проводника к точке, в которой находят поле; {\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{Гн}{м} – магнитная постоянная. Вектор d\overline{B} является перпендикулярным к плоскости, в которой расположены d\overline{l} и \overline{r}, конкретное направление вектора магнитной индукции определяют при помощи правила буравчика (правого винта).

Для однородного и изотропного магнетика, заполняющего пространство, вектор магнитной индукции в вакууме({\overline{B}}_0) и в веществе (\overline{B}), при одинаковых условиях, связывает формула:

    \[\overline{B}=\mu {\overline{B}}_0\  \qquad(7)\]

где \mu – относительная магнитная проницаемость вещества.

Частные случаи формул для вычисления модуля вектора магнитной индукции

Формула для вычисления модуля вектора индукции в центре кругового витка с током (I):

    \[B=\frac{{\mu }_0\mu }{2}\frac{I}{R} \qquad(8)\]

где R – радиус витка.

Модуль вектора магнитной индукции поля, которое создает бесконечно длинный прямой проводник с током:

    \[B=\frac{{\mu }_0\mu }{2\pi }\frac{I}{r} \qquad(9)\]

где r – расстояние от оси проводника до точки, в которой рассматривается поле.

В средней части соленоида магнитная индукция поля вычисляется при помощи формулы:

    \[B={\mu }_0\mu nI\ \left(10\right)\]

где n – количество витков соленоида на единицу длины; I – сила тока в витке.

Примеры решения задач по теме «Индукция магнитного поля»

ПРИМЕР 1
Задание Какой максимальный вращающий момент может действовать на катушку с током в 2 А? Если магнитное поле в котором находится катушка является однородным B=0,05 Тл. Катушка плоская и прямоугольная, имеет N=200 витков. Стороны витков a=0,1 м и b=0,05 м.
Решение В качестве основы для решения задачи используем формулу, которая определяет, что максимальный вращающий момент (M_{max}), действующий на контур с током I в однородном магнитном поле можно вычислить как:

    \[M_{max}=BIS \qquad(1.1)\]

Так как у нас имеется катушка с N витками, формулу (1.1) преобразуем к виду:

    \[{M'}_{max}=NBIS=NBIab \qquad(1.2)\]

где S=a\cdot b.

Вычислим {M'}_{max}:

    \[{M'}_{max}=200\cdot 0,05\cdot 2\cdot 0,1\cdot 0,05=0,1\ \left(H\cdot m\right)\]

Ответ {M'}_{max}=0,1 H\cdot м
ПРИМЕР 2
Задание Какой должна быть величина индукции магнитного поля (B) для того, чтобы сила Ампера могла уравновесить силу тяжести проводника, находящегося в магнитном поле горизонтально? Масса проводника m, длина l, сила тока, текущая по проводнику I. Покажите на рисунке как должно быть направлен вектор магнитного поля (\overline{B})?
Решение Сделаем рисунок.

Определим для начала направление вектора индукции магнитного поля. Для этого следует использовать правило левой руки в определении направлений связывающих векторы силу Ампера, вектор магнитной индукции и направление течения тока. Оттолкнемся от того, что сила Ампера должна быть направлена по одной прямой с силой тяжести и быть противоположно ей направленной для того, чтобы стержень был в равновесии. Отогнутый на 90^\circ большой палец по силе Ампера (рис.1), четыре пальца по току, линии поля входят в ладонь. Получается, что вектор индукции будет перпендикулярен плоскости рисунка и направлен от нас.

Далее используем второй закон Ньютона и в проекции на ось Y имеем:

    \[mg=F_{A}  \qquad(2.1)\]

Сила Ампера действующая на наш проводник будет равна:

    \[F_{A} =IBl\  \qquad(2.2)\]

Используя выражения (2.1) и (2.2), получим:

    \[IBl=mg\to B=\frac{mg}{Il}\]

Ответ B=\frac{mg}{Il}