Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула вектора магнитной индукции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Магнитное поле характеризуется векторной величиной, которую называют вектором магнитной индукции (\overline{B}).

Направление вектора магнитной индукции

Направлением вектора магнитной индукции считают направление, которое показывает северный полюс магнитной стрелки, которая может свободно устанавливаться в магнитном поле. Аналогичное направление имеет положительная нормаль к замкнутому контуру, по которому течет ток. Положительная нормаль имеет направление, совпадающее с направлением перемещения правого винта (буравчика), если его вращают по направлению тока в контуре. При использовании рамки с током или магнитной стрелки можно определить направление вектора \overline{B} в любой точке магнитного поля.

Если магнитное поле создает прямой проводник с током, то магнитная стрелка в любой точке этого поля устанавливается по касательной к окружности, плоскость которой перпендикулярна проводнику, центр находится на оси провода. Направление вектора \overline{B} определяют при помощи правила правого винта (правила буравчика), которое говорит о том, что если поступательное перемещение буравчика совпадает с направлением течения тока в проводнике, то вращение головки винта совпадает с направлением вектора магнитной индукции.

Величина (модуль) вектора магнитной индукции

Магнитное поле оказывать действие на каждый участок проводника с током. Используя силу, действующую на проводник с током (силу Ампера), определяют величину вектора магнитной индукции магнитного поля. Так, модуль вектора \overline{B} равен частному от деления максимальной силы Ампера (F_{max}), с которой магнитное поле оказывает воздействие на отрезок проводника с током (I) к произведению силы тока на длину проводника (\Delta l):

    \[B=\frac{F_{max}}{I\Delta l} \qquad(1)\]

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. По величине ее воздействия на заряд также можно установить модуль вектора \overline{B}:

    \[B=\frac{F_L}{qv{\sin \alpha \ } } \qquad(2)\]

где F_L – модуль силы Лоренца; q – заряд частицы, движущейся со скоростью v в магнитном поле; \alpha – это угол между векторами \overline{v} и \overline{B}. Направления {\overline{F}}_L, векторов \overline{v} и \overline{B} связаны между собой правилом левой руки.

Формулой, которая определяет величину вектора магнитной индукции в конкретной точке магнитного поля можно считать следующее выражение:

    \[B=\frac{M_{max}}{p_m} \qquad(3)\]

где M_{max} – максимальный вращающий момент, действующий на рамку, которая обладает магнитным моментом p_m, равным единице, если нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

Основные формулы, которые служат для вычисления вектора магнитной индукции

Закон Био-Савара-Лапласа

Данный закон предоставляет нам возможность вычислить вектор магнитной индукции (d\overline{B}) в любой точке магнитного поля, которое создается в вакууме элементарным проводником с током:

    \[d\overline{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^3}\left[d\overline{l}\overline{r}\right]\ \qquad(4)\]

где I – сила тока; d\overline{l} – вектор элементарный проводник по модулю он равен длине проводника, при этом его направление совпадает с направлением течения тока; \overline{r} – радиус-вектор, который проводят от элементарного проводника к точке, в которой находят поле; {\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{Gn}{m} – магнитная постоянная. Вектор d\overline{B} является перпендикулярным к плоскости, в которой расположены d\overline{l} и \overline{r}, конкретное направление вектора магнитной индукции определяют при помощи правила буравчика (правого винта).

Для однородного и изотропного магнетика, заполняющего пространство, вектор магнитной индукции в вакууме({\overline{B}}_0) и в веществе (\overline{B}), при одинаковых условиях, связывает формула:

    \[\overline{B}=\mu {\overline{B}}_0\ \qquad(5)\]

где \mu – относительная магнитная проницаемость вещества.

Принцип суперпозиции

Магнитная индукция поля (\overline{B}), которое является наложением нескольких полей, находится как векторная сумма магнитных индукций отдельных полей ({\overline{B}}_i):

    \[\overline{B}=\sum^N_{i=1}{{\overline{B}}_i}\ \qquad(6)\]

Теорема о циркуляции

В однородном и изотропном веществе циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому контуру L равна:

    \[\oint_L{\overline{B}d\overline{l}=\mu {\mu }_0\sum^N_{k=1}{I_k}} \qquad (7)\]

где \sum^N_{k=1}{I_k} – сумма токов проводимости с учетом их знака, которые охвачены рассматриваемым контуром; \mu – магнитная проницаемость вещества. В том случае, если направление обхода контура связано с направлением течения тока при помощи правила правого винта, то ток считают положительным.

В случае непрерывного распределения тока по поверхности S силу тока вычисляют при помощи выражения:

    \[I=\int_S{\overline{j}d\overline{S}} \qquad (8)\]

где d\overline{S} равен по модулю площади элемента поверхности dS;\ \overline{j} – плотность тока.

Примеры частных случаев формул для нахождения вектора магнитной индукции см. раздел «Магнитная индукция формула»

Примеры решения задач по теме «Вектор магнитной индукции»

ПРИМЕР 1
Задание Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции, определите величину вектора \overline{B} в точке, которая находится на расстоянии r от оси бесконечно длинного прямого проводника. По проводнику течет ток силы I.
Решение Сделаем рисунок.

На рис. 1 проводник, по которому течет ток, перпендикулярен плоскости рисунка. Ток течет на нас, проводник с током изображен точкой. В качестве контура, по которому будем рассматривать циркуляцию вектора \overline{B}, выберем окружность с центром на оси проводника, плоскость которой перепендикулярна проводнику. Радиус окружности будет равен расстоянию (r), которое задано в условиях задачи. Запишем теорему о циркуляции:

    \[\oint_L{\overline{B}d\overline{l}=\mu {\mu }_0\sum^N_{k=1}{I_k}}  \qquad (1.1)\]

где \mu =1. Наш контур охватывает только один ток, который течет в проводнике, следовательно:

    \[\sum^N_{k=1}{I_k}=I\  \qquad(1.2)\]

Величина \overline{B}d\overline{l} равна:

    \[\overline{B}d\overline{l}=Bdl\cos \alpha =Bdl\  \qquad(1.3)\]

где \alpha =0 (см. рис.1), B=const. Преобразуем формулу (1.1) к виду:

    \[\oint_L{Bdl={\mu }_0I}  \qquad (1.4)\]

Выразим величину вектора магнитной индукции из (1.4):

    \[B\oint{dl={\mu }_0I\to B2\pi r={\mu }_0I\to B=\frac{{\mu }_0I}{2\pi r}}\]

Ответ B=\frac{{\mu }_0I}{2\pi r}
ПРИМЕР 2
Задание Два длинных параллельных проводника с токами I создают магнитное поле. Расстояние между проводниками равно d. Токи текут в противоположных направлениях. Какова величина магнитной индукции в точке, которая находится на расстоянии r_1 от первого провода и на расстоянии r_2 от второго.
Решение Сделаем рисунок.

Используем результат примера 1, запишем, что:

    \[B_1=\frac{{\mu }_0I}{2\pi r_1}\  \qquad(2.1)\]

    \[B_2=\frac{{\mu }_0I}{2\pi r_2}\  \qquad(2.2)\]

Из принципа суперпозиции, в рассматриваемой точке имеем:

    \[\overline{B}={\overline{B}}_1+{\overline{B}}_2 \qquad(2.2)\]

По теореме косинусов:

    \[B=\sqrt{B^2_1+B^2_2-2B_1B_2{\cos \alpha } } \qquad(2.3)\]

Из треугольника ABC рис. 1 имеем:

    \[{\cos \alpha } =\frac{r^2_1+r^2_2-d^2}{2r_1r_2}\  \qquad(2.4)\]

Получаем:

    \[B=\frac{{\mu }_0}{2\pi }I\sqrt{\frac{1}{r^2_1}+\frac{1}{r^2_2}-\frac{1}{r^2_1r^2_2}(r^2_1+r^2_2-d^2)}=\frac{{\mu }_0}{2\pi }I\frac{d}{r_1r_2}\]

Ответ B=\frac{{\mu }_0}{2\pi }I\frac{d}{r_1r_2}