Формула вектора магнитной индукции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Магнитное поле характеризуется векторной величиной, которую называют вектором магнитной индукции $(\overline{B}).$

Направление вектора магнитной индукции

Направлением вектора магнитной индукции считают направление, которое показывает северный полюс магнитной стрелки, которая может свободно устанавливаться в магнитном поле. Аналогичное направление имеет положительная нормаль к замкнутому контуру, по которому течет ток. Положительная нормаль имеет направление, совпадающее с направлением перемещения правого винта (буравчика), если его вращают по направлению тока в контуре. При использовании рамки с током или магнитной стрелки можно определить направление вектора $\overline{B}$ в любой точке магнитного поля.

Если магнитное поле создает прямой проводник с током, то магнитная стрелка в любой точке этого поля устанавливается по касательной к окружности, плоскость которой перпендикулярна проводнику, центр находится на оси провода. Направление вектора $\overline{B}$ определяют при помощи правила правого винта (правила буравчика), которое говорит о том, что если поступательное перемещение буравчика совпадает с направлением течения тока в проводнике, то вращение головки винта совпадает с направлением вектора магнитной индукции.

Величина (модуль) вектора магнитной индукции

Магнитное поле оказывать действие на каждый участок проводника с током. Используя силу, действующую на проводник с током (силу Ампера), определяют величину вектора магнитной индукции магнитного поля. Так, модуль вектора $\overline{B}$ равен частному от деления максимальной силы Ампера $(F_{max})$ , с которой магнитное поле оказывает воздействие на отрезок проводника с током (I) к произведению силы тока на длину проводника $(\Delta l)$ :

$B=\frac{F_{max}}{I\Delta l} \qquad(1)$

На заряженную частицу, движущуюся в магнитном поле, действует сила Лоренца. По величине ее воздействия на заряд также можно установить модуль вектора $\overline{B}$ :

$B=\frac{F_L}{qv{\sin \alpha \ } } \qquad(2)$

где $F_L$ – модуль силы Лоренца; q – заряд частицы, движущейся со скоростью v в магнитном поле; $\alpha$ – это угол между векторами $\overline{v}$ и $\overline{B}$ . Направления ${\overline{F}}_L$ , векторов $\overline{v}$ и $\overline{B}$ связаны между собой правилом левой руки.

Формулой, которая определяет величину вектора магнитной индукции в конкретной точке магнитного поля можно считать следующее выражение:

$B=\frac{M_{max}}{p_m} \qquad(3)$

где $M_{max}$ – максимальный вращающий момент, действующий на рамку, которая обладает магнитным моментом $p_m$ , равным единице, если нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

Основные формулы, которые служат для вычисления вектора магнитной индукции

Закон Био-Савара-Лапласа

Данный закон предоставляет нам возможность вычислить вектор магнитной индукции ( $d\overline{B}$ ) в любой точке магнитного поля, которое создается в вакууме элементарным проводником с током:

$d\overline{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^3}\left[d\overline{l}\overline{r}\right]\ \qquad(4)$

где I – сила тока; $d\overline{l}$ – вектор элементарный проводник по модулю он равен длине проводника, при этом его направление совпадает с направлением течения тока; $\overline{r}$ – радиус-вектор, который проводят от элементарного проводника к точке, в которой находят поле; ${\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{Gn}{m}$ – магнитная постоянная. Вектор $d\overline{B}$ является перпендикулярным к плоскости, в которой расположены $d\overline{l}$ и $\overline{r}$ , конкретное направление вектора магнитной индукции определяют при помощи правила буравчика (правого винта).

Для однородного и изотропного магнетика, заполняющего пространство, вектор магнитной индукции в вакууме( ${\overline{B}}_0$ ) и в веществе ( $\overline{B}$ ), при одинаковых условиях, связывает формула:

$\overline{B}=\mu {\overline{B}}_0\ \qquad(5)$

где $\mu$ – относительная магнитная проницаемость вещества.

Принцип суперпозиции

Магнитная индукция поля ( $\overline{B}$ ), которое является наложением нескольких полей, находится как векторная сумма магнитных индукций отдельных полей ( ${\overline{B}}_i$ ):

$\overline{B}=\sum^N_{i=1}{{\overline{B}}_i}\ \qquad(6)$

Теорема о циркуляции

В однородном и изотропном веществе циркуляция вектора индукции магнитного поля по любому контуру L равна:

$\oint_L{\overline{B}d\overline{l}=\mu {\mu }_0\sum^N_{k=1}{I_k}} \qquad (7)$

где $\sum^N_{k=1}{I_k}$ – сумма токов проводимости с учетом их знака, которые охвачены рассматриваемым контуром; $\mu$ – магнитная проницаемость вещества. В том случае, если направление обхода контура связано с направлением течения тока при помощи правила правого винта, то ток считают положительным.

В случае непрерывного распределения тока по поверхности S силу тока вычисляют при помощи выражения:

$I=\int_S{\overline{j}d\overline{S}} \qquad (8)$

где $d\overline{S}$ равен по модулю площади элемента поверхности $dS;\ \overline{j}$ – плотность тока.

Примеры частных случаев формул для нахождения вектора магнитной индукции см. раздел «Магнитная индукция формула»

Примеры решения задач по теме «Вектор магнитной индукции»

ПРИМЕР 1

Задание

Используя теорему о циркуляции вектора магнитной индукции, определите величину вектора $\overline{B}$ в точке, которая находится на расстоянии r от оси бесконечно длинного прямого проводника. По проводнику течет ток силы I.

Решение

Сделаем рисунок.

На рис. 1 проводник, по которому течет ток, перпендикулярен плоскости рисунка. Ток течет на нас, проводник с током изображен точкой. В качестве контура, по которому будем рассматривать циркуляцию вектора $\overline{B}$ , выберем окружность с центром на оси проводника, плоскость которой перепендикулярна проводнику. Радиус окружности будет равен расстоянию (r), которое задано в условиях задачи. Запишем теорему о циркуляции:

$\oint_L{\overline{B}d\overline{l}=\mu {\mu }_0\sum^N_{k=1}{I_k}} \qquad (1.1)$

где $\mu =1$ . Наш контур охватывает только один ток, который течет в проводнике, следовательно:

$\sum^N_{k=1}{I_k}=I\ \qquad(1.2)$

Величина $\overline{B}d\overline{l}$ равна:

$\overline{B}d\overline{l}=Bdl\cos \alpha =Bdl\ \qquad(1.3)$

где $\alpha =0$ (см. рис.1), B=const. Преобразуем формулу (1.1) к виду:

$\oint_L{Bdl={\mu }_0I} \qquad (1.4)$

Выразим величину вектора магнитной индукции из (1.4):

$B\oint{dl={\mu }_0I\to B2\pi r={\mu }_0I\to B=\frac{{\mu }_0I}{2\pi r}}$

Ответ

$B=\frac{{\mu }_0I}{2\pi r}$

ПРИМЕР 2

Задание

Два длинных параллельных проводника с токами I создают магнитное поле. Расстояние между проводниками равно d. Токи текут в противоположных направлениях. Какова величина магнитной индукции в точке, которая находится на расстоянии $r_1$ от первого провода и на расстоянии $r_2$ от второго.