Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула магнитной индукции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ
Одной из основных количественных характеристик магнитного поля является вектор магнитной индукции (\overline{B}).

Формулы определяющие величину вектора магнитной индукции получают, используя выражение для силы Ампера, силы Лоренца и применяя понятие вращающего момента.

Формула величины вектора магнитной индукции

Формулой, которая определяет величину вектора магнитной индукции в конкретной точке магнитного поля можно считать следующее выражение:

    \[B=\frac{M_{max}}{p_m} \qquad(1)\]

где M_{max} – максимальный вращающий момент, действующий на рамку, которая обладает магнитным моментом p_m, равным единице, если нормаль к рамке перпендикулярна направлению поля.

При помощи силы Ампера величина вектора магнитной индукции задана как:

    \[B=\frac{1}{I}{\left(\frac{dF}{dl}\right)}_{max} \qquad(2)\]

где модуль \overline{B} равен пределу отношения величины силы (dF), с которой магнитное поле действует на бесконечно малый проводник с током, к силе тока (I) умноженной на длину этого проводника (dl), если длина проводника стремится к нулю. Как известно кроме величины вектор магнитной индукции имеет направление. В данном случае \overline{B} перпендикулярен к направлению силы dF и перпендикулярен направлению элемента проводника. Если рассматривать вращение из конца вектора магнитной индукции по кратчайшему расстоянию от направления силы к направлению тока, оно должно идти против часовой стрелки.

Используя силу Лоренца, получают формулу для магнитной индукции в виде:

    \[B=\frac{F_L}{qv\sin \alpha \ } } \qquad(3)\]

где F_L – модуль силы Лоренца; q – заряд частицы, движущейся со скоростью v в магнитном поле; \alpha – это угол между векторами \overline{v} и \overline{B}. Направления {\overline{F}}_L, векторов \overline{v} и \overline{B} связаны между собой правилом левой руки.

Закон Био-Савара-Лапласа

Данный закон предоставляет нам возможность вычислить вектор магнитной индукции (d\overline{B}) в любой точке магнитного поля, которое создается в вакууме элементарным проводником с током:

    \[d\overline{B}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I}{r^3}\left[d\overline{l}\overline{r}\right]\ \qquad(4)\]

где I – сила тока; d\overline{l} – вектор элементарный проводник по модулю он равен длине проводника, при этом его направление совпадает с направлением течения тока; \overline{r} – радиус-вектор, который проводят от элементарного проводника к точке, в которой находят поле; {\mu }_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{Гн}{м} – магнитная постоянная. Вектор d\overline{B} является перпендикулярным к плоскости, в которой расположены d\overline{l} и \overline{r}, конкретное направление вектора магнитной индукции определяют при помощи правила буравчика (правого винта).

Для однородного и изотропного магнетика, заполняющего пространство, вектор магнитной индукции в вакууме({\overline{B}}_0) и в веществе (\overline{B}), при одинаковых условиях, связывает формула:

    \[\overline{B}=\mu {\overline{B}}_0\ \qquad(5)\]

где \mu – относительная магнитная проницаемость вещества.

Частные случаи формул для вычисления величины вектора магнитной индукции

Формула для вычисления модуля вектора индукции в центре кругового витка с током (I):

    \[B=\frac{{\mu }_0\mu }{2}\frac{I}{R} \qquad(6)\]

где R – радиус витка.

Модуль вектора магнитной индукции поля, которое создает бесконечно длинный прямой проводник с током:

    \[B=\frac{{\mu }_0\mu }{2\pi }\frac{I}{r} \qquad(7)\]

где r – расстояние от оси проводника до точки, в которой рассматривается поле.

В средней части соленоида магнитная индукция поля вычисляется при помощи формулы:

    \[B={\mu }_0\mu nI\ \qquad(8)\]

где n – количество витков соленоида на единицу длины; I – сила тока в витке.

Принцип суперпозиции

Магнитная индукция поля (\overline{B}), которое является наложением нескольких полей, находится как векторная сумма магнитных индукций отдельных полей ({\overline{B}}_i):

    \[\overline{B}=\sum^N_{i=1}{{\overline{B}}_i}\ \qquad(9)\]

Примеры решения задач по теме «Магнитная индукция»

ПРИМЕР 1
Задание Какова магнитная индукция поля в вакууме, которую создают два тока в точке находящейся на равном расстоянии от каждого проводника (рис.1)? Проводники являются бесконечно длинными, прямыми. Расстояние между ними равно r. Провода параллельные, текущие в них токи равны I, они имеют одинаковые направления.
Решение В соответствии с принципом суперпозиции результирующая индукция магнитного поля должна быть найдена как векторная сумма:

    \[\overline{B}={\overline{B}}_1+{\overline{B}}_2 \qquad(1.1)\]

где {\overline{B}}_1 – индукция, которую создает первый ток; {\overline{B}}_2 – индукция, которую создает второй ток. Из рис. 1 видно, что векторы {\overline{B}}_1 и {\overline{B}}_2 направлены вдоль одной прямой , но в разные стороны, следовательно:

    \[B=B_1-B_2\  \qquad(1.2)\]

Величину вектора магнитной индукции в точке А поля, которое создает первый проводник можно найти используя формулу:

    \[B_1=\frac{{mi}_0\mu }{2\pi }\frac{I}{r_1} \qquad(1.3)\]

где r_1=\frac{r}{2}; \mu =1. Второй проводник в точке А создает точно такую же по величине магнитную индукцию:

    \[B_2=\frac{{\mu }_0\mu }{2\pi }\frac{I}{r_2} \qquad(1.4)\]

r_2=\frac{r}{2}. Получаем, что в точке А:

    \[B_1=B_2\ \to B=B_1-B_2=0\]

Ответ B=0
ПРИМЕР 2
Задание Какова магнитная индукция в центре тонкого кольца, находящегося в вакууме, если по нему течет ток, равный I=10 А? Радиус кольца равен R=0,05 м.
Решение В качестве основы для решения задачи используем закон Био-Савара-Лапласа для вакуума. Выделим на круговом токе элементарный участок, который можно считать прямолинейным. В центре окружности этот участок создает поле равное:

    \[dB=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl}{R^2}\  \qquad(2.1)\]

Все векторы магнитной индукции от всех элементов тока при движении по окружности будут направлены вдоль одной прямой, поэтому векторное суммирование заменим простым интегрированием:

    \[B=\int_L{\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{Idl}{R^2}}=\frac{{\mu }_0}{4\pi }\frac{I2\pi R}{R^2}=\frac{{\mu }_0}{2R}I\ \]

Проведем вычисление:

    \[B=\frac{4\pi \cdot {10}^{-7}}{2\cdot 0,05}\cdot 10=12,56\cdot {10}^{-5}(Tl)\]

Ответ B=1,256\cdot {10}^{-4} Тл