Вектор магнитной индукции

Определение и общие понятия вектора магнитной индукции

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Вектор магнитной индукции ( $\overline{B}$ ) – это одна из основных количественных характеристик магнитного поля.

Результаты экспериментов Ампера с проводниками в магнитном поле показали, что способность магнитного поля вызывать появление механической силы, которая оказывает действие на элемент с током, можно количественно описать, если задать в каждой точке поля некоторый вектор ( $\overline{B}$ ), который назвали вектором магнитной индукции. Сила, которая действует на элемент тока ( $Idl$ ) равна:

$d\overline{F}=I\left[d\overline{l}\overline{B}\right] \qquad (1)$

где $d\overline{F}$ – сила Ампера. Выражение (1) можно считать определением магнитной индукции. Величина B равна пределу отношения силы (dF), с которой действует магнитное поле на элементарный проводник с током, к силе тока (I) умноженной на длину этого проводника (dl), при длине проводника стремящейся к нулю. При этом проводник имеет такое расположение в магнитном поле, что данный предел имеет максимальное значение:

$B=\frac{1}{I}{\left(\frac{dF}{dl}\right)}_{max} \qquad (2)$

Эмпирически легко показать, что магнитное поле, воздействуя на рамку с током, оказывает на нее ориентирующее действие, разворачивая ее определенным образом. Это связано с тем, что магнитное поле имеет направление. За направление магнитного поля в точке принимают направление положительной нормали к рассматриваемой рамке. В качестве направления магнитного поля, так же можно принимать направление силы, которая оказывает воздействие на северный полюс магнитной стрелки, если его размещают в точку поля.

Принцип суперпозиции для вектора магнитной индукции

Для магнитного поля выполняется принцип наложения (суперпозиции), который означает, что если присутствует несколько контуров с током и каждый из них создает поле с какой – то магнитной индукцией, то индукция результирующего поля равна векторной сумме отдельных индукций:

$\overline{B}=\sum^N_{i=1}{{\overline{B}}_i} \qquad (3)$

В частности магнитную индукцию поля, которое создано контуром с током находят как сумму индукций отдельных элементов тока, на которые разбивают рассматриваемый контур.

Закон Био-Савара-Лапласа

Этот закон дает возможность определить вектор магнитной индукции ( $d\overline{B}$ ) в любой точке магнитного поля, которое создает в вакууме элемент проводника с током:

$d\overline{B}=\frac{{\mu}_0}{4\pi}\frac{I}{r^3}\left[d\overline{l}\overline{r}\right] \qquad (4)$

где I – сила тока; $d\overline{l}$ – вектор элемента проводника, который по модулю равен длине проводника, а направление его совпадает с направлением течения тока; $\overline{r}$ – радиус-вектор, который проводят от элементарного проводника к точке, в которой ищут поле; ${\mu}_0=4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{Gn}{m}$ – магнитная постоянная. Вектор $d\overline{B}$ является перпендикулярным к плоскости в которой расположены $d\overline{l}$ и $\overline{r}$ , конкретное направление вектора магнитной индукции определяют при помощи правила буравчика (правого винта).

В однородном изотропном магнетике, заполняющем пространство, вектор магнитной индукции в вакууме( ${\overline{B}}_0)$ и в веществе ( $\overline{B}$ ), при одинаковых условиях, связаны соотношением:

$\overline{B}=\mu {\overline{B}}_0 \qquad (5)$

где $\mu$ – относительная магнитная проницаемость вещества.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Получите формулу для расчета модуля вектора магнитной индукции на оси кругового тока в вакууме в точке, находящейся на расстоянии Z от центра кольца. Сила тока, текущего по тонкому кольцу равна I, радиус кольца R.

Решение

Сделаем рисунок.

На проводнике с током выделим элементарный участок $d\overline{l}$ . В соответствии с законом Био-Савара – Лапласа для точки А магнитное поле, которое создает выделенный участок будет характеризоваться магнитной индукцией величины:

$dB=\frac{{\mu}_0}{4\pi}\frac{Idl}{r^2} \qquad (1.1)$

где $r^2=R^2+Z^2.$ (из рис.1). Если последовательно разбивать контур еще на участки, находить индукции полей от них, то будет образовываться конус векторов $d\overline{B}$ . Если все эти векторы просуммировать, то результирующий вектор $\overline{B}$ будет иметь направление по оси Z. Следовательно, сложим проекции векторов $d\overline{B}$ на ось Z. При этом

$dB_Z=dB{\cos \varphi} =dB\frac{R}{r} \qquad (1.2)$

Так как контур с током у нас непрерывен, то применяя принцип суперпозиции перейдем от суммирования к интегрированию:

$B=\frac{{\mu}_0IR}{4\pi r^3}\oint{dl}=\frac{{2\pi \mu}_0IR^2}{{(R^2+Z^2)}^{{3}/{2}}}$

Ответ

$B=\frac{{2\pi \mu}_0IR^2}{{(R^2+Z^2)}^{{3}/{2}}}$

ПРИМЕР 2

Задание

Как связаны индукция магнитного поля ( $\overline{B}$ ) кругового тока на его оси и его магнитный момент ( ${\overline{p}}_m$ )?

Решение

Используя результат примера №1, запишем выражение для индукции магнитного поля кругового тока на его оси:

$B=\frac{{2\pi \mu}_0IR^2}{{(R^2+Z^2)}^{{3}/{2}}} \qquad (2.1)$

По определению магнитный момент кругового тока равен:

$p_m=S\cdot I=\pi R^2I \qquad (2.2)$

где S – площадь кругового витка. Сравнивая выражения (2.1) и (2.2) видим, что:

$B=\frac{{2\mu}_0p_m}{{(R^2+Z^2)}^{{3}/{2}}}$

Отметим, что вектор магнитного момента, перпендикулярен плоскости витка с током, его конкретное направление связывают с направлением тока в витке по правилу правого винта (рис.2).