Законы Кирхгофа для электрической цепи

Правильнее было бы говорить правила Кирхгофа для расчетов сложных электрических цепей постоянного тока. Электрическая цепь на практике может состоять из нескольких резисторов и источников тока. Такие цепи называют разветвленными. Уравнения позволяющие провести расчеты, например, сил токов, текущих в сопротивлениях, в любых сетях можно составить, воспользовавшись законом Ома и законом сохранения заряда. Правила Кирхгофа являются следствиями вышеназванных законов и принципиально нового ни чего не привносят, однако, с их помощью можно упростить процедуру написания необходимых уравнений. Существует два правила Кирхгофа для электрических цепей постоянного тока. Одно правило называют правилом узлов, так как оно связывает в одно уравнение токи, сходящиеся в узле. Второе правило касается замкнутых контуров, которые можно выделить в сложной цепи.

Первый закон (правило) Кирхгофа

В электрической цепи в одной точке могут сходиться более двух проводников с токами, тогда такую точку цепи называют узлом (разветвлением). Учитывая, что сила тока алгебраическая величина для любого узла:

$\sum^N_{n=1}{I_n=0} \qquad (1)$

где N – число токов, которые сходятся в узле. Выражение (1) называют первым правилом Кирхгофа (правило узлов): сумма токов, текущих через сопротивления в цепи постоянного тока, с учетом их знака, сходящихся в узле, равна нулю.

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первое правило Кирхгофа дает возможность составить $k-1$ независимое уравнение, если в цепи k узлов.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда.

Второй закон (правило) Кирхгофа

Во втором правиле Кирхгофа рассматриваются замкнутые контуры, поэтому оно носит название правила контуров: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних электродвижущих сил (ЭДС) ( $\varepsilon$ ), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

$\sum^N_{m=1}{I_mR_m}=\sum^L_{i=1}{\varepsilon_i} \qquad (2)$

Величины $I_mR_m$ называют падениями напряжения. До применения второго закона Кирхгофа выбирают положительное направление обхода контура. Это направление берется произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго правила для данного контура входит со знаком плюс. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника. Более правильно было бы сказать, что ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.

Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Рассчитайте шунт, который следует подключить к амперметру, если максимальный ток, на который амперметр рассчитан, равен $I_A$ , а измерить необходимо ток ( $I\ I>I_A$ ). Сопротивление Амперметра равно $R_A$ .

Решение

Для того чтобы измерить при помощи имеющегося амперметра ток, который больше, чем тот на который амперметр рассчитан, к нему параллельно подключают дополнительное сопротивление, называемое шунтом (рис.1). Направления токов, которые текут через элементы схемы, выбираем произвольным образом.

Законы Кирхгофа для электрической цепи, пример 1

Рассмотрим узел B на рис.1. Примем за положительные токи, входящие в узел. В соответствии с первым правилом Кирхгофа запишем для него:

$I-I_A-I_{sh}=0 \qquad (1.1)$

В качестве направления обхода контура выберем движение по часовой стрелке. Для замкнутого контура BCDEB по второму правилу Кирхгофа имеем уравнение:

$I_AR_A-I_{sh}R_{sh}=0 \qquad (1.2)$

Мы получили систему из двух линейных, не зависимых уравнений:

$\left\{ \begin{array}{c} I-I_A-I_{sh}=0\ \\ I_AR_A-I_{sh}R_{sh}=0 \end{array} \qquad (1.3)$

Из полученной системы уравнений выразим сопротивление шунта:

$R_{sh}=\frac{I_AR_A}{I-I_A}$

Ответ

$R_{sh}=\frac{I_AR_A}{I-I_A}$

ПРИМЕР 2

Задание

Какой будет сила тока через сопротивление R на рис.1, если источники имеют равные ЭДС ( $\varepsilon$ ) и внутренние сопротивления их $r_1$ и $\ r_2$ ?