Законы Кирхгофа

Законы Кирхгофа (или правила Кирхгофа) – это приемы, которые используют для того, чтобы упрощать процедуру составления систем уравнений необходимых при расчетах сложных разветвленных цепей постоянного тока. Разветвленными цепями называют цепи, которые содержат несколько замкнутых контуров с несколькими источниками ЭДС.

Узлом цепи называют такую точку цепи, в которой сошлись три или более проводников с токами.

Первый закон Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа еще называют правилом узлов. Так как он касается именно узлов цепи и токов в них. Словесно этот закон формулируется следующим образом: Сумма токов в цепи с учетом их знаков равна нулю. В математическом виде этот закон представляют как формулу:

$\sum^N_{m=1}{I_m=0} \qquad (1)$

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первый закон Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда. Если в цепи текут только постоянные токи, то нет в этой цепи точек, которые накапливали бы заряд. Иначе токи не были бы постоянными.

Первый закон Кирхгофа дает возможность составить $k-1$ независимое уравнение, если в цепи k узлов.

Второй закон Кирхгофа

Во втором законе Кирхгофа рассматривают контуры, поэтому он еще называется правилом контуров. Формулируется второй закон Кирхгофа так: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних ЭДС ( $\varepsilon$ ), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

$\sum_m{I_mR_m}=\sum_i{\varepsilon_i} \qquad (2)$

Величины $I_mR_m$ еще называют падениями напряжения. Прежде, чем применять второй закон Кирхгофа определяются с направлением положительного обхода контура. Выбирается направление произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго закона для данного контура входит с положительным знаком. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника.

Второй закона Кирхгофа является следствием закона Ома.

Любую цепь можно рассчитать при помощи закона сохранения заряда и закона Ома, правила Кирхгофа являются лишь подходами, упрощающими расчетные задачи.

При составлении уравнение, используя законы Кирхгофа, следует внимательно следить за расстановкой знаков у токов и ЭДС.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание	Запишите первый закон Кирхгофа для узла, который изображён на рис.1
Решение	Примем за положительные токи, которые входят в узел, соответственно, выходящие токи будут иметь знак минус в правиле узлов. Тогда первый закон Кирхгофа примет вид для нашего узла: $I_4+I_5-I_1-I_2-I_3=0$

ПРИМЕР 2

Задание

Какова сила тока, который идет через сопротивление R на рис.1, если источники имеют ЭДС равные $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ и внутренние сопротивления их $r_1$ и $r_2$ ?