Первый и второй законы Кирхгофа

Корректнее данные утверждения, которые в заголовке названы первым и вторым законами Кирхгофа было бы называть правилами Кирхгофа. Данные правила применяют при расчетах параметров сложных разветвленных электрических цепей постоянного тока. Электрические цепи могут содержать множество сопротивлений, источников тока, иметь в своем составе несколько замкнутых контуров и узлов. Параметры, характеризующие подобную цепь можно вычислить, если использовать хорошо известные законы Ома и сохранения заряда. Правила Кирхгофа являются следствиями этих основных законов. Однако при помощи правил Кирхгофа можно существенной упростить процедуру составления уравнений, которые свяжут силы тока, сопротивления и электродвижущие силы (ЭДС) источников в разветвленной цепи постоянного тока. Существует два правила Кирхгофа для электрических цепей постоянного тока. Первое правило Кирхгофа называют правилом узлов. Оно связывает в одно уравнение токи, сходящиеся в узле. Второе правило Кирхгофа относится к замкнутым контурам, которые можно выделить в сложной цепи.

Первый закон Кирхгофа

В разветвлённой электрической цепи в одной точке могут сходиться более двух проводников, по которым текут токи, такую точку цепи называют узлом (разветвлением) цепи. Помня, что сила тока является алгебраической величиной, запишем ее сумму в узле с учетом знаков:

$\sum^N_{k=1}{I_k=0} \qquad (1)$

где N – число токов, которые сходятся в узле. Выражение (1) называют первым правилом Кирхгофа (правило узлов): сумма токов, текущих через сопротивления в цепи постоянного тока, с учетом их знака, сходящихся в узле, равна нулю.

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первое правило Кирхгофа дает возможность составить $m-1$ независимое уравнение, если в цепи m узлов.

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения заряда.

Второй закон Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа формулируется для замкнутых контуров, поэтому его называют правилом контуров: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних электродвижущих сил (ЭДС) ( $\varepsilon$ ), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

$\sum^N_{m=1}{I_mR_m}=\sum^L_{i=1}{\varepsilon_i} \qquad (2)$

Величины $I_mR_m$ называют падениями напряжения. До применения второго закона Кирхгофа выбирают положительное направление обхода контура. Это направление берется произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго правила для данного контура входит со знаком плюс. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника. Более правильно было бы сказать, что ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.

Второе правило Кирхгофа — это следствие закона Ома.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Какова ЭДС источника тока на рис.1, если сопротивления равны $R_1,R_2, \ R_3$ , вольтметр показывает $U_V$ , его сопротивление равно $R_V$ ? Сопротивлением источника тока можно пренебречь.

Первый и второй законы Кирхгофа, пример 1

Решение

Рассмотрим узел A. Примем за положительные токи, входящие в узел. Тогда в соответствии с первым правилом запишем:

$I_1=I_V+I_{2} \qquad (1.1)$

Рассмотрим контур ABCA. За направление обода примем движение по часовой стрелке. Тогда по второму правилу Кирхгофа имеем:

$-I_1R_1-I_VR_V=\varepsilon \qquad (1.2)$

Рассмотрим контур ACDA. Направление обхода оставим прежним.

$I_VR_V-I_2R_2-I_2R_3=0 \qquad (1.3)$

Кроме того по закону Ома запишем, что:

$I_V=\frac{U_V}{R_V} \qquad (1.4)$

Мы получили систему из четырех уравнений:

$\left\{ \begin{array}{c} I_1=I_V+I_{2} \\ -I_1R_1-I_VR_V=\varepsilon \\ I_VR_V-I_2R_2-I_2R_3=0 \\ I_V=\frac{U_V}{R_V} \end{array} \qquad (1.5)$

Решая данную систему получаем:

$\left|\varepsilon \right|=\frac{U_V(R_1R_V+R_1R_2+R_2R_V+R_1R_3+R_3R_V)}{R_{V}(R_2+R_3)}$

Ответ

$\left|\varepsilon \right|=\frac{U_V(R_1R_V+R_1R_2+R_2R_V+R_1R_3+R_3R_V)}{R_{V}(R_2+R_3)}$

ПРИМЕР 2

Задание

Чему равны силы тока, которые текут через резисторы в первом примере?

Решение

Воспользуемся системой уравнений, которые получены в примере 1:

$\left\{ \begin{array}{c} I_1=I_V+I_{2} \\ -I_1R_1-I_VR_V=\varepsilon \\ I_VR_V-I_2R_2-I_2R_3=0 \\ I_V=\frac{U_V}{R_V} \end{array} \qquad (2.1)$

Из третьего уравнения системы выразим ток $I_2$ , используем уравнения четыре из той же системы, получим:

$I_VR_V-I_2R_2-I_2R_3=0\to I_VR_V=\left(R_2+R_3\right)\to I_2=\frac{I_VR_V}{R_2+R_3}=$

$=\frac{U_V}{R_V}\cdot \frac{R_V}{R_2+R_3}=\frac{U_V}{R_2+R_3} \qquad (2.2)$

Силы тока, текущие через сопротивления $R_2$ и $R_3$ одинаковы и равны $I_2$ . Силу тока. которая течет через сопротивление $I_1$ найдем используя уравнения первое и четвертое из системы уравнений (2.1) и полученную силу тока $I_2\ (2.2)$ :

$I_1=I_V+I_{2}\to I_1=\frac{U_V}{R_V}+\frac{U_V}{R_2+R_3}=U_V(\frac{R_2+R_3+R_V}{R_V(R_2+R_3)})$

Ответ

$I_1=U_V\left(\frac{R_2+R_3+R_V}{R_V\left(R_2+R_3\right)}\right);\ I_2=I_3=\frac{U_V}{R_2+R_3}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Первый и второй законы Кирхгофа

Первый закон Кирхгофа

Второй закон Кирхгофа

Примеры решения задач