Законы Ома и Кирхгофа

Закон Ома является основным законом, который используют при расчетах цепей постоянного тока. Он является фундаментальным и может применяться для любых физических систем, где есть потоки частиц и поля, преодолевается сопротивление.

Законы или правила Кирхгофа являются приложением к закону Ома, используемым для расчета сложных электрических цепей постоянного тока.

Закон Ома

Обобщенный закон Ома для неоднородного участка цепи (участка цепи, содержащего источник ЭДС) имеет вид:

$I=\frac{{\varphi}_1-{\varphi}_2+\varepsilon}{R+r} \qquad (1)$

${\varphi}_1-{\varphi}_2$ – разность потенциалов на концах участка цепи; $\varepsilon$ – ЭДС источника на рассматриваемом участке цепи; R – внешнее сопротивление цепи; r – внутреннее сопротивление источника ЭДС. Если цепь разомкнута, значит, тока в ней нет ( $I=0$ ), то из (2) получим:

${\varphi}_2-{\varphi}_1=\varepsilon$

ЭДС, действующая в незамкнутой цепи, равна разности потенциалов на ее концах. Получается, для нахождения ЭДС источника следует измерить разность потенциалов на его клеммах при незамкнутой цепи.

Закон Ома для замкнутой цепи записывают как:

$I=\frac{\varepsilon}{R+r} \qquad (2)$

Величину $R+r$ иногда называют полным сопротивлением цепи. Формула (2) показывает, что электродвижущая сила источника тока, деленная на полное сопротивление равна силе тока в цепи.

Закон Кирхгофа

Пусть имеется произвольная разветвленная сеть проводников. В отдельных участках включены разнообразные источники тока. ЭДС источников постоянны и будем считать известными. При этом токи во всех участках цепи и разности потенциалов на них можно вычислить при помощи закона Ома и закона сохранения заряда.

Для упрощения решения задач по расчетам разветвлённых электрических цепей, имеющих несколько замкнутых контуров, несколько источников ЭДС, используют законы (или правила) Кирхгофа. Правила Кирхгофа служат для того, чтобы составить систему уравнений, из которой находят силы тока в элементах сложной разветвленной цепи.

Первый закон Кирхгофа

Сумма токов в узле цепи с учетом их знаков равна нулю:

$\sum^N_{m=3}{I_m=0} \qquad (3)$

Первое правило Кирхгофа является следствием закона сохранения электрического заряда. Алгебраическая сумма токов, сходящихся в любом узле цепи – это заряд, который приходит в узел за единицу времени.

При составлении уравнение используя законы Кирхгофа важно учитывать знаки с которыми силы токов входят в эти уравнения. Следует считать, что токи, идущие к точке разветвления, и исходящие от разветвления имеют противоположные знаки. При этом нужно для себя определить какое направление (к узлу или от узла) считать положительным.

Второй закон Кирхгофа

Произведение алгебраической величины силы тока (I) на сумму вешних и внутренних сопротивлений всех участков замкнутого контура равно сумме алгебраических значений сторонних ЭДС ( $\varepsilon$ ) рассматриваемого контура:

$\sum_m{I_mR_m}=\sum_i{\varepsilon_i} \qquad (4)$

Каждое произведение $IR$ определяет разность потенциалов, которая существовала бы между концами соответствующего участка, если бы ЭДС в нем была равно нулю. Величину $IR$ называют падением напряжения, которое вызывается током.

Второй закон Кирхгофа иногда формулируют следующим образом:

Для замкнутого контура сумма падений напряжения есть сума ЭДС в рассматриваемом контуре.

Второе правило (закон) Кирхгофа является следствием обобщенного закона Ома. Так, если в изолированной замкнутой цепи есть один источник ЭДС, то сила тока в цепи будет такой, что сумма падения напряжения на внешнем сопротивлении и внутреннем сопротивлении источника будет равна сторонней ЭДС источника. Если источников ЭДС несколько, то берут их алгебраическую сумму. Знак ЭДС выбирается положительным, если при движении по контуру в положительном направлении первым встречается отрицательный полюс источника. (За положительное направление обхода контура принимают направление обхода цепи либо по часовой стрелке, либо против нее).

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Вольтметр включили последовательно в цепь с сопротивлением, равным $R_1$ , при этом прибор показал напряжение $U_1$ . Сопротивление $R_1$ заменили на $R_2=2R_1$ . При этом показания вольтметра изменились, и напряжение на вольтметре стало $U_2$ . Каково сопротивление $R_1$ , если сопротивление вольтметра равно r?

Решение

По закону Ома сила тока, которая течет через вольтметр и сопротивление равна (в первом случае рис.1(а)):

$I_1=\frac{U}{R_1+r} \qquad (1.1)$

Во втором случае:

$I_2=\frac{U}{R_2+r} \qquad (1.2)$

Сила тока в любом месте цепи рис.1(а) равна $I_1$ , следовательно, напряжение, которое показывает вольтметр в первом случае равно:

$U_1=I_1r=\frac{Ur}{R_1+r} \qquad (1.3)$

Из (1.3), получим:

$U_1\left(R_1+r\right)=Ur \qquad (1.4)$

Во втором случае, имеем:

$U_2=I_2r=\frac{Ur}{R_2+r}\to U_2\left(R_2+r\right)=Ur \qquad (1.5)$

Приравняем левые части выражений (1.4) и (1.5):

$U_1\left(R_1+r\right)=U_2\left(R_2+r\right)=U_2\left(2R_1+r\right) \qquad (1.6)$

Из формулы (1.6), выразим искомое сопротивление:

$R_1=\frac{(U_1-U_2)r}{2U_2-U_1}$

Ответ

$R_1=\frac{(U_1-U_2)r}{2U_2-U_1}$

ПРИМЕР 2

Задание

Два источника ЭДС включены параллельно, (известны их ЭДС и внутренние сопротивления) рис.2. Какова сила тока через сопротивление R?

Решение

Рассмотрим точку А цепи рис.2. Запишем уравнение, для сил токов используя первое правило Кирхгофа. За положительные будем считать токи, которые входят в узел:

$I-I_1-I_2=0 \qquad (2.1)$