Правила Кирхгофа

Очень часто электрическая цепь включает несколько источников тока и сопротивлений, которые соединены разными способами. Такую цепь называют сложной разветвленной электрической цепью. Значимыми для составления систем уравнений, позволяющих провести расчеты в сети постоянного тока, являются ее узлы и замкнутые контуры. Расчеты любой сети можно проводить, используя закон Ома и закон сохранения заряда. Но использование специальных правил, которые называют правилами Кирхгофа (иногда законами Кирхгофа) позволяют упростить процедуру составления уравнений для вычислений. Всего выделяют два правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа

Довольно часто в электрической цепи в одной точке сходятся более двух проводников, по которым текут токи. Такие точки в цепи называют узлами или разветвлениями. В любом узле, если ток в цепи постоянен, полное изменение заряда за некоторый промежуток времени равно:

$\triangle q=\sum^N_{k=1}{I_k\triangle t} \qquad (1)$

где суммирование проводят с учетом знаков силы тока. Если мы имеем дело с постоянным током в цепи, то потенциалы всех ее точек остаются неизменными. Значит, в узлах не может накапливаться заряд. Поэтому рассматривая силу тока, как алгебраическую величину запишем:

$\sum^N_{k=1}{I_k=0} \qquad (2)$

где N – число токов, которые сходятся в узле. Выражение (2) носит название первого правила Кирхгофа (правило узлов): сумма токов, текущих через сопротивления в цепи постоянного тока, с учетом их знака, сходящихся в узле, равна нулю.

Знак у тока (плюс или минус) выбирают произвольно, но при этом следует считать, что все входящие в узел токи имеют одинаковые знаки, а все исходящие из узла токи имеют противоположные входящим, знаки. Допустим, все входящие токи мы примем за положительные, тогда все исходящие их этого узла токи будут отрицательными.

Первое правило Кирхгофа дает возможность составить $k-1$ независимое уравнение, если в цепи k узлов.

Второе правило Кирхгофа

Во втором правиле Кирхгофа рассматривают замкнутые контуры, поэтому оно называется правилом контуров. Формулируется это правило Кирхгофа следующим образом: Суммы произведений алгебраических величин сил тока на внешние и внутренние сопротивления всех участков замкнутого контура равны алгебраической сумме величин сторонних ЭДС ( $\varepsilon$ ), которые входят в рассматриваемый контур. В математическом виде второй закон Кирхгофа записывают как:

$\sum^N_{m=1}{I_mR_m}=\sum^L_{i=1}{\varepsilon_i} \qquad (2)$

Величины $I_mR_m$ называют падениями напряжения. Прежде, чем применять второй закон Кирхгофа определяются с направлением положительного обхода контура. Выбирается направление произвольно, либо по часовой стрелке, либо против нее. Если направление обхода совпадает с направлением течения тока в рассматриваемом элементе контура, то падение напряжения в формулу второго закона для данного контура входит с положительным знаком. ЭДС считают положительной, если при движении по контуру (в избранном направлении) первым встречается отрицательный полюс источника. Более правильно было бы сказать, сто ЭДС считают положительной, если работа сторонних сил по перемещению единичного положительного заряда на рассматриваемом участке цепи в заданном направлении обхода контура является положительной величиной.

Второе правило Кирхгофа является следствием закона Ома.

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1

Задание

Источники ЭДС соединены в соответствии со схемой рис.1. Величины этих ЭДС равны $\varepsilon_1$ и $\varepsilon_2$ . Сопротивление имеет величину R. Внутренние сопротивления источников равны между собой и равны r каждое. Какова сила тока в резисторе?

Решение

Направления токов на рис.1 задаем произвольно. Будем считать положительными токи, которые входят в узел. Для точки С запишем первое правило Кирхгофа:

$I_1+I_2-I=0 \qquad (1.1)$

За направление обхода контуров примем движение по часовой стрелке. Рассмотрим контур ABDCA. Запишем для него второе правило Кирхгофа:

$-I_1r-IR=\varepsilon_1 \qquad (1.2)$

Рассмотрим контур CDFEC. Для него уравнение, составленное при помощи второго правила Кирхгофа будет:

$IR+I_2r=-\varepsilon_2 \qquad (1.3)$

Мы получили систему из трех линейных, независимых уравнение с тремя неизвестными:

$\left\{ \begin{array}{c} I_1+I_2-I=0 \\ -I_1r-IR=\varepsilon_1 \\ IR+I_2r=-\varepsilon_2 \end{array} \qquad (1.4)$

Из этой системы уравнений найдем силу тока I. Она получается равной:

$I=-\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2R+r}$

Получено отрицательное значение силы тока, это означает, что когда мы произвольно задавали направления токов в элементах цепи, то не угадали и выбрали направление течения тока в противоположную сторону.

Ответ

$\left|I\right|=\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2R+r}$

ПРИМЕР 2

Задание

Найдите силы токов для схемы рис.1, которые текут через источники ЭДС.

Решение

Для решения задачи можно использовать систему уравнении, которую мы получили применяя правила Кирхгофа:

$\left\{ \begin{array}{c} I_1+I_2-I=0, \\ -I_1r-IR=\varepsilon_1 \\ IR+I_2r=-\varepsilon_2 \end{array} \qquad (2.1)$

Зная выражение для силы тока, который течет через сопротивление R:

$I=-\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2R+r} \qquad (2.2)$

Получим силу тока $I_1,$ используя второе уравнение системы:

$-I_1r-IR=\varepsilon_1\to I_1r=\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2R+r}R-\varepsilon_1\to I_1=\frac{\varepsilon_2R-\varepsilon_1R-\varepsilon_1r}{r\left(2R+r\right)}$

Используя первое уравнение системы (2.1) и выражения для токов $I,\ I_1$ найдем ток, текущий через второй элемент ЭДС:

$+I_2-I=0\to I_2=I-I_1=-\frac{\varepsilon_1+\varepsilon_2}{2R+r}-\frac{\varepsilon_2R-\varepsilon_1R-\varepsilon_1r}{r\left(2R+r\right)}=\frac{\varepsilon_1R-\varepsilon_2R-\varepsilon_2r}{r\left(2R+r\right)}$

Ответ

$I_1=\frac{\varepsilon_2R-\varepsilon_1R-\varepsilon_1r}{r\left(2R+r\right)};\ I_2=\frac{\varepsilon_1R-\varepsilon_2R-\varepsilon_2r}{r\left(2R+r\right)}$

Понравился сайт? Расскажи друзьям!

Советуем прочитать:

Правила Кирхгофа

Первое правило Кирхгофа

Второе правило Кирхгофа

Примеры решения задач