Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

DWQA Questions › Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Нужно рассмотреть действия над комплексными числами в тригонометрической форме, с примерами.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Использовать тригонометрическую форму комплексных чисел удобно для выполнения их умножения, деления, извлечения корня и возведения в степень.

Умножение
Например, умножить два комплексных числа, которые записаны в тригонометрической форме, можно следующим образом:

$z_1\cdot z_2=r_1\cdot r_2\left({\cos \left(\tau_1+\tau_2\right)\ }+i{\sin \left(\tau_1+\tau_2\right)\ }\right).$

То есть чтобы вычислить произведение комплексных чисел, которые записаны в тригонометрической форме, необходимо найти произведение их модулей и сумму аргументов.

Пример 1.
Найдем произведение чисел:

$z_1=\sqrt[3]{7}\left({\cos 23{}^\circ \ }+i{\sin 23{}^\circ \ }\right), z_2=\sqrt[3]{49}\left({\cos 37{}^\circ \ }+i{\sin 37{}^\circ \ }\right).$

Решение.
Перемножим числа:

$z_1\cdot z_2=\sqrt[3]{7}\cdot \sqrt[3]{49}\left({\cos \left(23{}^\circ +23{}^\circ \right)\ }+i{\sin \left(37{}^\circ +37{}^\circ \right)\ }\right)=$

$=7\cdot \left({\cos 60{}^\circ \ }+i{\sin 60{}^\circ \ }\right)=\frac{7}{2}+i\frac{7\sqrt{3}}{2}=\frac{7}{2}\cdot \left(1+i\sqrt{3}\right).$

Ответ. $z_1\cdot z_2=\frac{7}{2}\cdot \left(1+i\sqrt{3}\right)$ .

Деление
Поскольку деление является обратным умножению, то для вычисления частного двух комплексных чисел, которые записаны в тригонометрической форме, делят их модули и вычитают аргументы:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{r_1}{r_2}\left({\cos \left(\tau_1-\tau_2\right)\ }+i{\sin \left(\tau_1-\tau_2\right)\ }\right).$

Пример 2.
Найдем частное чисел:

$z_1=17\cdot \left({\cos 123{}^\circ \ }+i{\sin 123{}^\circ \ }\right), z_2=4\cdot \left({\cos 93{}^\circ \ }+i{\sin 93{}^\circ \ }\right).$

Решение.
Разделим числа:

$\frac{z_1}{z_2}=\frac{17}{4}\cdot \left({\cos \left(123{}^\circ -93{}^\circ \right)\ }+i{\sin \left(123{}^\circ -93{}^\circ \right)\ }\right)=$

$=\frac{17}{4}\cdot \left({\cos 30{}^\circ \ }+i{\sin 30{}^\circ \ }\right)=\frac{17}{4}\cdot \left(\frac{\sqrt{3}}{2}+i\cdot \frac{1}{2}\right)=\frac{17\sqrt{3}}{8}+\frac{17}{8}i=2\frac{\sqrt{3}}{8}+2\frac{1}{8}i.$

Ответ. $\frac{z_1}{z_2}=2\frac{\sqrt{3}}{8}+2\frac{1}{8}i$ .

Возведение в степень
Чтобы возвести в произвольную натуральную степень комплексное число, которое записано в тригонометрической форме, необходимо возвести в данную степень его модуль и умножить на показатель степени аргумент:

$z^s=r^s\cdot \left({\cos s\tau\ }+i{\sin s\tau\ }\right).$

Пример 3.
Возвести в 5 степень число $z=11\cdot \left({\cos 39{}^\circ \ }+i{\sin 39{}^\circ \ }\right)$ .

Решение.

$z^5={\left(11\cdot \left({\cos 39{}^\circ \ }+i{\sin 39{}^\circ \ }\right)\right)}^5={11}^5\cdot \left({\cos \left(5\cdot 39{}^\circ \right)\ }+i{\sin \left(5\cdot 39{}^\circ \right)\ }\right)=$

$=161051\cdot \left({\cos 195{}^\circ \ }+i{\sin 195{}^\circ \ }\right).$

Ответ. $z^5=161051\cdot \left({\cos 195{}^\circ \ }+i{\sin 195{}^\circ \ }\right)$ .

Действия над комплексными числами в тригонометрической форме

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.