cos x (2 cos x + tg x) = 1

DWQA Questions › cos x (2 cos x + tg x) = 1

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить уравнение cos x (2 cos x + tg x) = 1.
Очень прошу – распишите подробно, нужно разобраться в решении.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.

Решить уравнение cos x (2 cos x + tg x) = 1.

Решение.

Обратим внимание на тангенс, который присутствует в уравнение. Известно, что тангенс является отношением синуса на косинус, поэтому областью определения заданного уравнения будет вся числовая прямая, кроме решений неравенства ${\cos x\ }\ne 0$ .

Раскроем скобки, перемножив косинус на слагаемые в них:

$2{{\cos }^2 x\ }+{\sin x\ }=1$

Можно перейти от квадрата косинуса к синусу в квадрате, используя основное тождество тригонометрии:

$2\left(1-{{\sin }^2 x\ }\right)+{\sin x\ }=1$

Раскроем скобки и упростим уравнение, сложив подобные слагаемые:

$2{{\sin }^2 x\ }-{\sin x\ }-1=0$

Полученное уравнение — квадратное и решается заменой sin x любой переменной, например, переменной z. В результате получим два возможных решения:

${\sin x\ }=1$ или ${\sin x\ }=-\frac{1}{2}$ .

Рассмотрим первое уравнение. Его корни полностью совпадают с корнями уравнения, которые не входят в область допустимых значений. Поэтому корни данного уравнения не будут удовлетворять наше решение.

Что касается второго уравнения, то его корнями будут значения:

$x=-\frac{\pi}{6}+2\pi t;$

$x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi t.$

Объединив полученные решения, запишем корни заданного уравнения:

Ответ. $x=-\frac{\pi}{6}+2\pi t$ , $x=-\frac{5\pi}{6}+2\pi t$ , t — любое целое число.

cos x (2 cos x + tg x) = 1

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.