Биссектриса равнобедренного треугольника проведенная из вершины
Asya Админ. спросил 7 лет назад
Здравствуйте!
В контрольной попался вопрос: «Биссектриса равнобедренного треугольника, которая проведена из его вершины, противолежащей основанию, является высотой и медианой данного треугольника. Докажите данное утверждение.»
Очень нужна помощь в доказательстве этого утверждения! Спасибо!
Asix Админ. ответил 7 лет назад
Докажем, что биссектриса равнобедренного треугольника, которая проведена из его вершины, противолежащей основанию, является высотой и медианой данного треугольника.
Доказательство.
Рассмотрим равнобедренный треугольник АВС.
У данного треугольника сторона АВ является основанием. Проведем из его вершины С биссектрису СМ.
Рассмотрим треугольники САМ и ВСМ.
У этих треугольников сторона СМ является общей. Стороны АС и ВС равны, поскольку они являются боковыми сторонами равнобедренного треугольника АВС. Углы АСМ и ВСМ равны, так как отрезок СМ является биссектрисой угла АСВ по условию.
Следовательно, треугольники САМ и ВСМ равны согласно первому признаку равенства треугольников.
Так как треугольники САМ и ВСМ равны по доказательству, то и их стороны АМ и ВМ также равны. Из этого следует, что сторона СМ является медианой равнобедренного треугольника АВС.
Согласно свойству медианы равнобедренного треугольника она является и его высотой.
Утверждение доказано.
