Вычислить криволинейный интеграл

DWQA Questions › Вычислить криволинейный интеграл

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить задачу:
«Вычислить криволинейный интеграл $\int_M{ydm}$ от точки (1; 9) до точки (13; 27). Кривая М задана уравнением $y^2=13x$ ».
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Чтобы вычислить криволинейный интеграл вспомнить основные моменты, связанные с этим понятием.
Если точки с координатами $\left(x_1;\ y_1\right)$ и $\left(x_2;\ y_2\right)$ — концы линии М, которая задана функцией у(х). В таком случае криволинейный интеграл сводится к определенному с помощью формулы:

$\int_M{f\left(x;y\right)dm}=\int^{x_2}_{x_1}{f\left(x;y\left(x\right)\right)\cdot \sqrt{1+{\left(y'\left(x\right)\right)}^2}\cdot \left|dx\right|}.$

$\left|dx\right|=dx$ при $x_1<x_2$ и $\left|dx\right|=-dx$ при $x_1>x_2$ .
Приступим к решению задачи.

Пример.
Вычислим криволинейный интеграл $\int_M{ydm}$ от точки (1; 9) до точки (13; 27). Кривая М задана уравнением $y^2=13x$ .

Решение.
Кривая является параболой, а координаты точек указывают на то, что речь пойдет о верхней ветке параболы $y\left(x\right)=\sqrt{13x}$ .
Поскольку абсциссы точек удовлетворяю условию $x_1<x_2$ , то будет использовать формулу с положительным значением модуля dx.
Сначала найдем производную, чтобы было удобнее затем просто подставить ее значение в формулу:

$y^{'}\left(x\right)={\left(\sqrt{13x}\right)}^{'} =\sqrt{13}\cdot {\left(\sqrt{x}\right)}^{'} =\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{x}}.$

Подставим найденное значение под знак корня:

$\sqrt{1+{\left(y'\left(x\right)\right)}^2}=\sqrt{1+{\left(\frac{\sqrt{13}}{2\sqrt{x}}\right)}^2}=\sqrt{1+\frac{13}{4x}}.$

Теперь подставим найденные выражения в основную формулу:

$\int_M{f\left(x;y\right)dm}=\int^{13}_1{\sqrt{13x}\cdot \sqrt{1+\frac{13}{4x}}dx}=\int^{13}_1{\sqrt{13x\cdot \left(1+\frac{13}{4x}\right)}dx}=$

$=\int^{13}_1{\sqrt{13x+\frac{169}{4}}dx}=$

Внесем подкоренное выражение под знак дифференциала:

$=\frac{1}{13}\int^{13}_1{{\left(13x+\frac{169}{4}\right)}^{\frac{1}{2}}d\left(13x+\frac{169}{4}\right)}={\left.\frac{1}{13}\cdot \frac{2}{3}\cdot {\left(13x+\frac{169}{4}\right)}^{\frac{3}{2}}\right|}^{13}_1=$

$=\frac{2}{39}\left(\sqrt{{\left(169+\frac{169}{4}\right)}^3}-\sqrt{{\left(13+\frac{169}{4}\right)}^3}\right)=\frac{2}{39}\left(\sqrt{{\left(\frac{845}{4}\right)}^3}-\sqrt{{\left(\frac{676}{4}\right)}^3}\right)=$

$=\frac{2}{39}\cdot \frac{1}{8}\left(845\sqrt{845}-676\sqrt{676}\right)=\frac{845\sqrt{845}-676\sqrt{676}}{156}\approx$

$\approx \frac{845\cdot 29-676\cdot 26}{156}=\frac{2535}{156}=16,25.$

Ответ. $\int_M{ydm}=16,25$ .

Вычислить криволинейный интеграл

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.