Вычислить интеграл от Х*cosX dX

DWQA Questions › Вычислить интеграл от Х*cosX dX

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Нужно вычислить интеграл от x*cosx dx. Очень плохо разбираюсь в интегралах, поэтому желательно подробное объяснение.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Вычислить интеграл от x*cosx dx.

Решение.
Часто при вычислении интегралов, под знаком которых стоит выражение, которое состоит из произведения двух функций (в данном случае функция х и cosx), используют метод интегрирования частями.
Используем этот метод для решения заданного интеграла:

$\int{x\cdot {\cos x\ }}dx=$

Выполним замену:

$u=x,$

$dv={\cos x\ }dx.$

Тогда вычислим остальные необходимые компоненты формулы:

$du=dx,$

$v={\sin x\ }.$

Подставим полученные выражения в формулу для вычисления интеграла методом интегрирования частями:

$=x\cdot {\sin x\ }-\int{{\sin x\ }dx}=$

Поскольку интеграл от синуса равен минус косинусу, не забываем о неопределенном постоянном числе, запишем:

$=x\cdot {\sin x\ }-\left(-{\cos x\ }+C\right)=x\cdot {\sin x\ }+{\cos x\ }+C.$

Знак неопределенной постоянной С при вынесении ее за скобки не изменился, поскольку она и так является неопределенной, так какая тогда разница со знаком минус она или со знаком плюс.

Ответ. $x\cdot {\sin x\ }+{\cos x\ }+C$ .

Примером решения интегралов этим же способом (интегрирования по частям) является также интеграл $\int{\left(3x-2\right)\cdot e^xdx}$ .
Причем обратим внимание, что за переменную dv всегда берут то выражение, от которого легче найти интеграл, чтобы получить значение переменной v. В нашем случае это было выражение cos x dx, а в этом будет $e^xdx$ .

Вычислить интеграл от Х*cosX dX

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.