Вычислить двойной интеграл

DWQA Questions › Вычислить двойной интеграл

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить задачу, пожалуйста!
Вычислить двойной интеграл $\mathop{\int\!\!\!\!\int}\nolimits_D{xdxdy}$ , где область интегрирования D задана функциями $y=\sqrt{x}$ и $y=x$ .
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задача.
Вычислить двойной интеграл $\mathop{\int\!\!\!\!\int}\nolimits_D{xdxdy}$ , где область интегрирования D задана функциями $y=\sqrt{x}$ и $y=x$ .

Решение.
Начертим область интегрирования D:

Обратим внимание, что выполнять чертеж необходимо на начальном этапе решения, причем его выполнение должно быть достаточно правильным и точным, так как это может повлиять на все решение.
Получаем такой порядок обхода:

$x\le y\le \sqrt{x};$

$0\le x\le 1.$

Запишем интеграл через повторные интегралы:

$\mathop{\int\!\!\!\!\int}\nolimits_D{xdxdy}=\int^1_0{dx}\int^{\sqrt{x}}_x{xdy}=\int^1_0{xdx}\int^{\sqrt{x}}_x{dy}.$

Обратим внимание, что переменная х была вынесена из внутреннего интеграла во внешний. Так как внутренний интеграл $\int^{\sqrt{x}}_x{xdy}$ будет интегрироваться по переменной у, то переменная х будет считаться для него постоянной, а любая константа может быть вынесена за знак интеграла.
Интегралы лучше решать последовательно:
1) Используем формулу Ньютона-Лейбница и вычислим значение внутреннего интеграла:

$\int^{\sqrt{x}}_x{dy}={\left.y\right|}^{\sqrt{x}}_x=\sqrt{x}-x.$

2) Полученный результат подставляем во внешний интеграл $\int^1_0{xdx}$ , не забывая о переменной х, которая уже стоит под его знаком:

$\int^1_0{x\left(\sqrt{x}-x\right)dx}=\int^1_0{\left(x^{\frac{3}{2}}-x^2\right)dx}={\left.\left(\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}-\frac{x^3}{3}\right)\right|}^1_0=$

$=\frac{2}{5}-\frac{1}{3}-\left(0-0\right)=\frac{6}{15}-\frac{5}{15}=\frac{1}{15}$

Ответ. $\mathop{\int\!\!\!\!\int}\nolimits_D{xdxdy}=\int^1_0{dx}\int^{\sqrt{x}}_x{xdy}=\frac{1}{15}$ .

Часто в подобных задачах требуется изменить порядок интегрирования (или порядок обхода области интегрирования). Для этого достаточно записать обратные функции к заданным и записать интеграл через них.

Вычислить двойной интеграл

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.