Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Формула Ньютона-Лейбница

Если функция y=f\left( x \right) является непрерывной на отрезке \left[ a;\ b \right] , а F\left( x \right) – некоторая ее первообразная, то есть {F}'\left( x \right)=f\left( x \right) , то имеет место формула Ньютона-Лейбница

    \[ \int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=F\left( b \right)-F\left( a \right) \]

Эта формула устанавливает связь между определенным и неопределенным интегралами.

Разность F\left( b \right)-F\left( a \right) условно обозначают символом \left. \left( F\left( x \right) \right) \bigg|_{a}^{b} , поэтому формулу Ньютона-Лейбница записывают также в виде:

    \[\int\limits_{a}^{b}{f\left( x \right)dx}=\left. \left( F\left( x \right) \right) \bigg|_{a}^{b}\]

ПРИМЕР 1
Задание Вычислить определенный интеграл

    \[ \int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}} \]

Решение Согласно таблице интегралов и формуле Ньютона-Лейбница имеем:

    \[\int\limits_{0}^{1}{\frac{dx}{1+{{x}^{2}}}}=\left. \text{arctg }x \bigg|_{0}^{1}=\text{arctg1}-\text{arctg0}=\frac{\pi }{4}-0=\frac{\pi }{4}\]

Ответ
ПРИМЕР 2
Задание Вычислить

    \[ \int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}dx} \]

Решение Одна из первообразных подынтегральной функции f\left( x \right)={{x}^{2}} равна

    \[F\left( x \right)=\int{{{x}^{2}}dx}=\frac{{{x}^{2+1}}}{2+1}=\frac{{{x}^{3}}}{3}\]

Действительно,

    \[{F}'\left( x \right)={{\left( \frac{{{x}^{3}}}{3} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot {{\left( {{x}^{3}} \right)}^{\prime }}=\frac{1}{3}\cdot 3{{x}^{2}}={{x}^{2}}=f\left( x \right)\]

Тогда, согласно формуле Ньютона-Лейбница, заданный определенный интеграл:

    \[\int\limits_{1}^{2}{{{x}^{2}}dx}=\left. \frac{{{x}^{3}}}{3} \bigg| ^{1}_{2}=\frac{1}{3}\cdot \left( {{2}^{3}}-{{1}^{3}} \right)=\frac{7}{3}\]

Ответ