Упростите выражение (sin x + cos x) / (sin x – cos x)

DWQA Questions › Упростите выражение (sin x + cos x) / (sin x – cos x)

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите выполнить задание:
Упростите выражение (sin x + cos x) / (sin x – cos x)
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задача.
Упростите выражение (sin x + cos x) / (sin x — cos x)

Решение.
Если нужно упростить выражение, которое содержит сопряженные выражения, то решать их нужно с помощью умножения данной дроби на ее числитель.
Под сопряженным понимают выраж-е, которое содержит одинаковые слагаемые, но между ними стоят различные знаки (например, «—» и «+»).
Умножим заданное выраж-е на сопряженное к знаменателю. В нашем случае это (sin x + cos x):

$\frac{{\sin x\ }+{\cos x\ }}{{\sin x\ }-{\cos x\ }}=\frac{\left({\sin x\ }+{\cos x\ }\right)\left({\sin x\ }+{\cos x\ }\right)}{\left({\sin x\ }-{\cos x\ }\right)\left({\sin x\ }+{\cos x\ }\right)}=$

Делается это для того, чтобы в знаменателе можно было использовать ф-лу разницы квадратов (одну из ф-л сокращенного умножения), в то же время в числителе получаем квадрат суммы:

$=\frac{{\left({\sin x\ }+{\cos x\ }\right)}^2}{{{\sin }^2 x\ }-{{\cos }^2 x\ }}=$

В числителе дроби можно раскрыть скобки, используя другую ф-лу сокращенного умножения — ф-лу квадрата суммы:

$=\frac{{{\sin }^2 x\ }+2{\sin x\ }{\cos x\ }+{{\cos }^2 x\ }}{{{\sin }^2 x\ }-{{\cos }^2 x\ }}=$

Сумму квадратов sin и cos свернем по основному тригон-кому тождеству и получим единицу:

$=\frac{1+2{\sin x\ }{\cos x\ }}{{{\sin }^2 x\ }-{{\cos }^2 x\ }}=$

Из этого же тригоном-кого тождества выразим квадрат cos и запишем его значение в знаменатель:

$=\frac{1+2{\sin x\ }{\cos x\ }}{{{\sin }^2 x\ }-\left(1-{{\sin }^2 x\ }\right)}=$

Раскроем скобки в знаменателе, сложим подобные члены и получим:

$=\frac{1+2{\sin x\ }{\cos x\ }}{2{{\sin }^2 x\ }-1}=$

Преобразуем произведение $2{\sin x\ }{\cos x\ }$ в числителе в sin двойного угла:

$=\frac{1+{\sin 2x\ }}{2{{\sin }^2 x\ }-1}$

Таким образом, в результате упрощения заданная дробь приведена к одной тригонометрической функции — синус.

Ответ. $\frac{1+{\sin 2x\ }}{2{{\sin }^2 x\ }-1}$ .

Упростите выражение (sin x + cos x) / (sin x – cos x)

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.