Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Упрощение тригонометрических выражений

При упрощении тригонометрических выражений используются свойства тригонометрических функций и тригонометрические формулы.

Основные тригонометрические формулы

Соотношения между тригонометрическими функциями одного аргумента

Тригонометрические функции суммы и разности углов

Тригонометрические функции двойного и тройного аргументов

Формулы понижения степени

Тригонометрические функции половинного аргумента

Формулы преобразования произведения тригонометрических функций в сумму

Формулы преобразования суммы тригонометрических функций в произведение

Формулы, выражающие \sin \alpha ,\ \cos \alpha ,\ \text{tg}\alpha через \text{tg}\frac{\alpha }{2}

Формулы приведения

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Упростить тригонометрическое выражение

    \[\text{ctg}\left( -\alpha  \right)\cdot \text{tg}\left( -\alpha  \right)-{{\sin }^{2}}\left( -\alpha  \right)\]

Решение Котангенс, тангенс и синус являются нечетными функциями, поэтому:

    \[\text{ctg}\left( -\alpha  \right)=-\text{ctg}\alpha \text{ };\text{ } \text{tg}\left( -\alpha  \right)=-\text{tg}\alpha ; \sin \left( -\alpha  \right)=-\sin \alpha \]

Этот же результат можно получить используя формулы приведения. Тогда исходное выражение примет вид

    \[\text{ctg}\left( -\alpha  \right)\cdot \text{tg}\left( -\alpha  \right)-{{\sin }^{2}}\left( -\alpha  \right)=-\text{ctg}\alpha \cdot \left( -\text{tg}\alpha  \right)-{{\left( -\sin \alpha  \right)}^{2}}=\text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha -{{\sin }^{2}}\alpha \]

Учитывая, что \text{ctg}\alpha \cdot \text{tg}\alpha =1, получим

    \[\text{ctg}\left( -\alpha  \right)\cdot \text{tg}\left( -\alpha  \right)-{{\sin }^{2}}\left( -\alpha  \right)=1-{{\sin }^{2}}\alpha \]

Из основного тригонометрического тождества {{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1 следует, 1-{{\sin }^{2}}\alpha ={{\cos }^{2}}\alpha. Тогда окончательно получим

    \[\text{ctg}\left( -\alpha  \right)\cdot \text{tg}\left( -\alpha  \right)-{{\sin }^{2}}\left( -\alpha  \right)={{\cos }^{2}}\alpha \]

Ответ \text{ctg}\left( -\alpha  \right)\cdot \text{tg}\left( -\alpha  \right)-{{\sin }^{2}}\left( -\alpha  \right)={{\cos }^{2}}\alpha
ПРИМЕР 2
Задание Упростить тригонометрическое выражение

    \[\frac{\cos \alpha \cos \beta -\cos \,\left( \alpha +\beta  \right)}{\cos \,\left( \alpha -\beta  \right)-\sin \alpha \sin \beta }\]

Решение Используя тригонометрические формулы суммы и разности углов, преобразуем в числителе \cos \,\left( \alpha +\beta  \right)=\cos \,\alpha \cos \,\beta -\sin \,\alpha \sin \,\beta, а в знаменателе \cos \,\left( \alpha -\beta  \right)=\cos \,\alpha \cos \,\beta +\sin \,\alpha \sin \,\beta, получим:

    \[  \frac{\cos \alpha \cos \beta -\cos \,\left( \alpha +\beta  \right)}{\cos \,\left( \alpha -\beta  \right)-\sin \alpha \sin \beta }=\]

    \[=\frac{\cos \alpha \cos \beta -\left( \cos \,\alpha \cos \,\beta -\sin \,\alpha \sin \,\beta  \right)}{\cos \,\alpha \cos \,\beta +\sin \,\alpha \sin \,\beta -\sin \alpha \sin \beta }= \]

    \[ =\frac{\cos \alpha \cos \beta -\cos \,\alpha \cos \,\beta +\sin \,\alpha \sin \,\beta }{\cos \,\alpha \cos \,\beta +\sin \,\alpha \sin \,\beta -\sin \alpha \sin \beta }=\]

    \[=\frac{\sin \,\alpha \sin \,\beta }{\cos \,\alpha \cos \,\beta }=\frac{\sin \,\alpha }{\cos \,\alpha }\cdot \frac{\sin \,\beta }{\cos \,\beta }\]

По определению \frac{\sin \,\alpha }{\cos \,\alpha }=\text{tg}\alpha, тогда окончательно исходное выражение равно

    \[\frac{\cos \alpha \cos \beta -\cos \,\left( \alpha +\beta  \right)}{\cos \,\left( \alpha -\beta  \right)-\sin \alpha \sin \beta }=\text{tg}\alpha \cdot \text{tg}\beta \]

Ответ
ПРИМЕР 3
Задание Упростить тригонометрическое выражение

    \[\sin \left( \pi -2\alpha  \right)+2\cos \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)\cdot \sin \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)\]

Решение Используя формулы тригонометрических функций двойного аргумента, второе слагаемое данного выражение запишется следующим образом

    \[2\cos \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)\cdot \sin \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)=\sin \left( 2\cdot \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right) \right)=\sin \left( 3\pi +2\alpha  \right)\]

Подставляя это в исходное выражение, получим

    \[\sin \left( \pi -2\alpha  \right)+2\cos \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)\cdot \sin \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)=\sin \left( \pi -2\alpha  \right)+\sin \left( 3\pi +2\alpha  \right)\]

Далее, учитывая периодичность синуса

    \[\sin \left( 3\pi +2\alpha  \right)=\sin \left( 2\pi +\pi +2\alpha  \right)=\sin \left( \pi +2\alpha  \right) \]

исходное выражение примет вид

    \[\sin \left( \pi -2\alpha  \right)+2\cos \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)\cdot \sin \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)=\sin \left( \pi -2\alpha  \right)+\sin \left( \pi +2\alpha  \right)\]

Воспользовавшись формулами приведения, окончательно получим:

    \[\sin \left( \pi -2\alpha  \right)+2\cos \,\left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)\cdot \sin \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)=\sin 2\alpha -\sin 2\alpha =0\]

Ответ \sin \left( \pi -2\alpha  \right)+2\cos \,\left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)\cdot \sin \left( \frac{3}{2}\pi +\alpha  \right)=0