Упростить sin (a + b) + sin (a – b) / sin (a + b) – sin (a – b)

DWQA Questions › Упростить sin (a + b) + sin (a – b) / sin (a + b) – sin (a – b)

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите выполнить задание:
Упростить выражение sin (a + b) + sin (a – b) / sin (a + b) – sin (a – b).
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Упростить выражение:
sin (a + b) + sin (a — b) / sin (a + b) — sin (a — b).

Решение.
Первое, что приходит в голову — это, конечно же, использовать тригонометрические формулы синуса суммы и синуса разности. Запишем эти формулы:

${\sin \left(a+b\right)\ }={\sin a\ }{\cos b\ }+{\sin b\ }{\cos a\ }$

${\sin \left(a-b\right)\ }={\sin a\ }{\cos b\ }-{\sin b\ }{\cos a\ }$

Подставим эти формулы в исходное выражение:

$\frac{{\sin \left(a+b\right)\ }+{\sin \left(a-b\right)\ }}{{\sin \left(a+b\right)\ }-{\sin \left(a-b\right)\ }}=$

$=\frac{{\sin a\ }{\cos b\ }+{\sin b\ }{\cos a\ }+{\sin a\ }{\cos b\ }-{\sin b\ }{\cos a\ }}{{\sin a\ }{\cos b\ }+{\sin b\ }{\cos a\ }-\left({\sin a\ }{\cos b\ }-{\sin b\ }{\cos a\ }\right)}=$

Сгруппируем одинаковые слагаемые в числителе, а также раскроем скобки в знаменателе и сгруппируем слагаемые:

$=\frac{\left({\sin a\ }{\cos b\ }+{\sin a\ }{\cos b\ }\right)+\left({\sin b\ }{\cos a\ }-{\sin b\ }{\cos a\ }\right)}{{\sin a\ }{\cos b\ }+{\sin b\ }{\cos a\ }-{\sin a\ }{\cos b\ }+{\sin b\ }{\cos a\ }}=$

$=\frac{2{\sin a\ }{\cos b\ }}{\left({\sin a\ }{\cos b\ }-{\sin a\ }{\cos b\ }\right)+\left({\sin b\ }{\cos a\ }+{\sin b\ }{\cos a\ }\right)}=$

$=\frac{2{\sin a\ }{\cos b\ }}{2{\sin b\ }{\cos a\ }}=$

Очевидно, что числитель и знаменатель можно сократить на 2:

$=\frac{{\sin a\ }{\cos b\ }}{{\sin b\ }{\cos a\ }}=$

Сгруппируем множители в числителе и знаменателе согласно аргументам:

$=\frac{{\sin a\ }}{{\cos a\ }}\cdot \frac{{\cos b\ }}{{\sin b\ }}=$

Каждая из дробей описывает функцию тангенс от а и котангенс от b:

$={\rm tg}\ a\cdot {\rm ctg}\ b$

Таким образом, в результате упрощения выражения получили:

$\frac{{\sin \left(a+b\right)\ }+{\sin \left(a-b\right)\ }}{{\sin \left(a+b\right)\ }-{\sin \left(a-b\right)\ }}={\rm tg}\ a\cdot {\rm ctg}\ b$

Ответ. $\frac{{\sin \left(a+b\right)\ }+{\sin \left(a-b\right)\ }}{{\sin \left(a+b\right)\ }-{\sin \left(a-b\right)\ }}={\rm tg}\ a\cdot {\rm ctg}\ b$ .

Упростить sin (a + b) + sin (a – b) / sin (a + b) – sin (a – b)

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.