Углы четырехугольника вписанного в окружность

Четырехугольник считается вписанным в окр-сть, если все его вершины лежат на этой окружности.


Углы четырехугольника, вписанного в окружность, имеют интересное свойство, которое помогает при решении геометрических задач.
Это свойство заключается в том, что:
суммы попарно противоположных углов четырехуг-ка равны по 180 град.

Доказательство.
Построим окружность и впишем в нее произвольный четырехуг-ник ABCD.
Возьмем угол АВС. Он является вписанным, а также опирающимся на дугу ADC. По свойству вписанных углов угол АВС равен (в градусах) половине дуги ADC.
Возьмем угол ADC. Он также является вписанным и опирающимся на дугу АВС. По тому же свойству вписанных углов угол ADC равен (в градусах) половине дуги АВС.
Сумма дуг ADC и АВС составляют всю окружность. А градусная мера всей окр-сти равна 360 градусов.
Каждый из рассматриваемых углов равен половине соответствующей дуги окружности. Следовательно, сумма этих углов равна половине суммы этих двух дуг, то есть:
угол АВС + угол ADC = 360 / 2
угол АВС + угол ADC = 180
Подобным образом рассматривается и пара углов BCD и BAD.
Свойство доказано.
Существует и обратное утверждение. То есть если сумма противоположных углов любого четырехуг-ка составляет 180 градусов, то вокруг такого четырехуг-ка может быть описана окр-сть.