Среднее значение функции на отрезке

DWQA Questions › Среднее значение функции на отрезке

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Как найти среднее значение функции на отрезке? Может формулы есть?
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Рассмотрим вопрос о том, как находить среднее значение функции на отрезке.
По этому поводу существует теорема, которая называется теоремой о среднем. В ней говорится, что если на определенном отрезке заданная функция непрерывна, то на этом промежутке найдется такая точка, для которой будет выполняться условие:

$\int^b_a{f\left(x\right)dx}=\left(b-a\right)f\left(c\right)$

Здесь a и b — концы отрезка, f(x) — заданная функция, а с — выше упоминаемая точка.
Значение функции в точке с называют средним ее значением на отрезке от а до b и находят по формуле:

$f\left(c\right)=\frac{\int^b_a{f\left(x\right)dx}}{b-a}$

Формулой очень удобно пользоваться, если функция на отрезке задана не линейная, а квадратичная, логарифмическая, тригонометрическая или какая-либо еще.
Рассмотрим пример.

Задание.
Найти среднее значение функции $y=x^2-5x+7$ на отрезке [2; 13].

Решение.
Воспользуемся выше упомянутой формулой и подставим в нее известные значения:

$f\left(c\right)=\frac{\int^{13}_2{\left(x^2-5x+7\right)dx}}{13-2}=\frac{1}{11}\int^{13}_2{\left(x^2-5x+7\right)dx}=$

Вычислим интеграл:

$=\frac{1}{11}{\left.\left(\frac{x^3}{3}-5\frac{x^2}{2}+7x\right)\right|}^{13}_2=$

Используем формулу Ньютона-Лейбница и найдем значение полученного выражения:

$=\frac{1}{11}\left(\frac{{13}^3}{3}-5\frac{{13}^2}{2}+7\cdot 13-\left(\frac{2^3}{3}-5\frac{2^2}{2}+7\cdot 2\right)\right)=$

Упростим выражение и вычислим его результат:

$=\frac{1}{11}\left(\frac{2197}{3}-\frac{845}{2}+91-\frac{8}{3}+10-14\right)=$

$=\frac{1}{11}\left(\frac{2189}{3}-\frac{845}{2}+87\right)=\frac{1}{11}\cdot \frac{4378-2535+522}{6}=\frac{2365}{66}\approx 35,8$

Получили среднее значение функции $y=x^2-5x+7$ на отрезке [2; 13] равным 35,8.

Ответ. 35,8.

Среднее значение функции на отрезке

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.