Линейные уравнения

Линейные уравнения с одним неизвестным

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Линейным уравнением с одним неизвестным называется уравнение вида

$ax=b \ (1)$

где $x$ называется неизвестным, числа $a$ и $b$ — коэффициентами уравнения (1).

Случай 1. Если коэффициент $a\ne 0$ , тогда уравнение (1) имеет единственное решение, задающееся формулой

$x=\frac{b}{a}$

Случай 2. Если $a=0$ , а $b\ne 0$ , то уравнение (1) корней не имеет: $x\in \emptyset$ .

Случай 3. Если $a=0$ , $b=0$ , то уравнение (1) имеет бесконечно много решений: $x\in R$ .

ПРИМЕР 1

Задание

Решить уравнение $3\cdot \left(x+1\right)-2\cdot \left(2x-1\right)=3$ .

Решение

Преобразуем левую часть заданного уравнения, а именно раскроем скобки и сведем подобные:

$3x+\not 3-4x+2=\not 3\Rightarrow -x+2=0\Rightarrow -x=-2\Rightarrow -1\cdot x=-2$

В результате получили линейное уравнение с одним неизвестным, для которого коэффициенты $a=-1,\; b=-2$ , а тогда (случай 1)

$x=\frac{-2}{-1} =2$

Ответ

$x=2$

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Уравнением называется равенство двух алгебраических выражений, в состав которых входят переменные.

Линейным уравнением двух переменных называется уравнение вида

$y=ax+b \ (2)$

Линейное уравнение двух переменных можно представить

ОПРЕДЕЛЕНИЕ

Решением или корнями уравнения (2) называется такую пару значений переменных $\left(x;\; y\right)$ , которая обращает его в тождество.

ПРИМЕР 2

Задание

Проверить, является ли пара чисел $\left(-1;\; 0\right)$ решением уравнения $3x-y=2$ .

Решение

Подставим в уравнение вместо переменной $x$ заданное значение $\left(-1\right)$ , а вместо $y$ — значение 0:

$3\cdot \left(-1\right)-0=2, -3=2$

Получили неверное равенство, значит, делаем вывод, что $\left(-1;\; 0\right)$ не является решением рассматриваемого уравнения.

Ответ

Пара $\left(-1;\; 0\right)$ не является решением уравнения $3x-y=2$ .

Таких решений линейное уравнение с двумя переменными (2) имеет бесконечное множество.

Геометрическим местом такого уравнения являются все точки прямой $y=ax+b$ (рис. 1).

Понравился сайт? Расскажи друзьям!