sinx = 2 +cos ^ 2 (x)

DWQA Questions › sinx = 2 +cos ^ 2 (x)

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Нужна Ваша помощь!
Нужно решить уравнение sinx = 2 + cos ^ 2 (x). Желательно с объяснениями.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Решить уравнение ${\sin x\ }=2+{{\cos }^2 x\ }$ .

Решение.
Для решения уравнения ${\sin x\ }=2+{{\cos }^2 x\ }$ сначала перейдем к одной тригонометрической функции с помощью тригонометрических формул. Для этого используем основное тригонометрическое тождество, из которого получим значение квадрата косинуса от х.
Подставим новое значение для косинуса в квадрате в исходное уравнение:

${\sin x\ }=2+1-{{\sin }^2 x\ }.$

Далее перенесем все в одну из частей уравнения, в данном случае будет удобнее в левую:

${{{\sin }^2 x\ }{\rm +sin} x\ }-3=0.$

Данное уравнение является квадратным, в котором роль переменной играет sin x. Чтобы было удобнее решать и не наделать ошибок, выполним замену:

$z={\sin x\ }.$

Подставим новую переменную в квадратное уравнение:

$z^2+z-3=0.$

Решим его:

$D=1^2-4\cdot 1\cdot \left(-3\right)=13;$

$z_1=\frac{-1-\sqrt{13}}{2};$

$z_2=\frac{-1+\sqrt{13}}{2}.$

Вернемся от переменной z к тригонометрической функции и получим два уравнения:
Первое:

${\sin x\ }=-\frac{1+\sqrt{13}}{2}<-1.$

Такое уравнение не имеет решений, поскольку область значений функции синус от —1 до 1.
Второе:

${\sin x\ }==\frac{-1+\sqrt{13}}{2}>1.$

Получили, что и у второго уравнения решений тоже не будет.
В результате исходное уравнение корней не имеет.

Ответ. Уравнение корней не имеет.

Для решения данного уравнения использовался переход к одной тригонометрической функции с помощью основного тригонометрического тождества, после чего было получено квадратное уравнение. Полученное уравнение было решено при помощи замены тригонометрической функции на произвольную переменную. Чтобы получить корни необходимо вернуться от такой произвольной переменной к тригонометрической функции и решить полученные уравнения.

sinx = 2 +cos ^ 2 (x)

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.