sin^4 a – cos^4 a = – cos 2a

DWQA Questions › sin^4 a – cos^4 a = – cos 2a

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 6 лет назад

Здравствуйте!
Помогите доказать тождество:
sin^4 a – cos^4 a = – cos 2a.
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 6 лет назад

Задание.
Доказать тождество:
sin^4 a — cos^4 a = — cos 2a.

Доказательство.
При доказательстве тождеств принято преобразовывать одну из его частей к такому виду, какой имеет вторая часть. Мы будем преобразовывать левую часть к виду правой части. Если в результате получим одинаковые выражения в обеих частях, значит тождество доказано.
Запишем тождество:

${{\sin }^4 a\ }-{{\cos }^4 a\ }=-{\cos a\ }$

В левой части равенства находится разность четвертых степеней двух функций от одного аргумента. Распишем это выражение как разность квадратов:

${\left({{\sin }^2 a\ }\right)}^2-{\left({{\cos }^2 a\ }\right)}^2=-{\cos a\ }$

Теперь применим к этой разности формулу сокращенного умножения и распишем по ней:

$\left({{\sin }^2 a\ }-{{\cos }^2 a\ }\right)\left({{\sin }^2 a\ }+{{\cos }^2 a\ }\right)=-{\cos 2a\ }$

Во втором множителе видим сумму квадратов функций синус и косинус, которая по основному тригонометрическому тождеству равна единице. Запишем:

$\left({{\sin }^2 a\ }-{{\cos }^2 a\ }\right)\cdot 1=-{\cos 2a\ }$

${{\sin }^2 a\ }-{{\cos }^2 a\ }=-{\cos 2a\ }$

Далее рассмотрим оставшуюся в левой части равенства разность квадратов. Снова обратимся к тригонометрическим формулам, среди которых обратим внимание на формулу косинуса двойного угла:

${\cos 2x\ }={{\cos }^2 x\ }-{{\sin }^2 x\ }$

Выразим из этой формулы нужную нам разность квадратов синуса и косинуса и получим:

${{\sin }^2 x\ }-{{\cos }^2 x\ }=-{\cos 2x\ }$

Подставим полученное выражение в рассматриваемое равенство:

$-{\cos 2a\ }=-{\cos 2a\ }$

Тождество доказано.

sin^4 a – cos^4 a = – cos 2a

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.