Онлайн калькуляторы

На нашем сайте собрано более 100 бесплатных онлайн калькуляторов по математике, геометрии и физике.

Справочник

Основные формулы, таблицы и теоремы для учащихся. Все что нужно, чтобы сделать домашнее задание!

Заказать решение

Не можете решить контрольную?!
Мы поможем! Более 20 000 авторов выполнят вашу работу от 100 руб!

Тригонометрические тождества

Основные тригонометрические тождества, наиболее часто используемые при выполнении тригонометрических преобразований:

    \[{{\sin }^{2}}\alpha +{{\cos }^{2}}\alpha =1\qquad(1)\]

    \[\text{tg}\alpha \cdot \text{ctg}\alpha =1\qquad(2)\]

    \[\text{tg}\alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }\qquad(3)\]

    \[\text{ctg}\alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }\qquad(4)\]

    \[1+\text{tg}^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\cos }^{2}}\alpha }\qquad(5)\]

    \[1+\text{ctg}^{2}}\alpha =\frac{1}{{{\sin }^{2}}\alpha }\qquad(6)\]

Примеры решения задач

ПРИМЕР 1
Задание Доказать тождество {{\sin }^{6}}\alpha +3{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha =1
Доказательство Из основного тригонометрического тождества (1) выразим синус:

    \[{{\sin }^{2}}\alpha =1-{{\cos }^{2}}\alpha \]

Тогда доказываемое тождество представим в виде:

    \[ {{\sin }^{6}}\alpha +3{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha ={{\left( {{\sin }^{2}}\alpha \right)}^{3}}+3{{\sin }^{2}}\alpha {{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha =\]

    \[ ={{\left( 1-{{\cos }^{2}}\alpha \right)}^{3}}+3(1-{{\cos }^{2}}\alpha ){{\cos }^{2}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha =1-3{{\cos }^{2}}\alpha +3{{\cos }^{4}}\alpha -{{\cos }^{6}}\alpha + \]

    \[ +3{{\cos }^{2}}\alpha -3{{\cos }^{4}}\alpha +{{\cos }^{6}}\alpha =1\]

Что и требовалось доказать.

ПРИМЕР 2
Задание Если \text{tg}\alpha =\frac{1}{2} найти значение выражения

    \[ \frac{5\cos \alpha +6\sin \alpha }{3\sin \alpha -7\cos \alpha } \]

Решение Воспользуемся тригонометрическим тождеством (5) и выразим косинус через тангенс:

    \[{{\cos }^{2}}\alpha =\frac{1}{1+\text{tg}^{2}}\alpha }=\frac{1}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}\]

откуда \cos \alpha =\pm \frac{2}{\sqrt{5}}. С помощью равенства (1) выразим синус:

    \[\sin \alpha =\pm \sqrt{1-{{\cos }^{2}}\alpha }=\pm \sqrt{1-\frac{4}{5}}=\pm \frac{1}{\sqrt{5}}\]

Из условия известно, что значение тангенса положительно. Это означает, что угол \alpha лежит в первой или третьей четверти. Следовательно, значения синуса либо оба положительные, либо оба отрицательные. Таким образом,

    \[\frac{5\cos \alpha +6\sin \alpha }{3\sin \alpha -7\cos \alpha }=\frac{5\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}+6\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}}{3\cdot \frac{1}{\sqrt{5}}-7\cdot \frac{2}{\sqrt{5}}}=\frac{\frac{16}{\sqrt{5}}}{\frac{-11}{\sqrt{5}}}=-\frac{16}{11}\]

Ответ