sin2x = 3 (sinx + cosx – 1)

DWQA Questions › sin2x = 3 (sinx + cosx – 1)

0 +1 -1

Asya Админ. спросил 7 лет назад

Здравствуйте!
Помогите решить и объясните решение, пожалуйста:
sin2x=3(sinx+cosx-1).
Спасибо!

1 ответ

0 +1 -1

Asix Админ. ответил 7 лет назад

Задание.
Найти решение уравнения:
sin2x=3(sinx+cosx-1).

Решение.
Для решения данного уравнения будем использовать метод замены.
Поскольку в данном уравнении присутствуют два вида тригонометрический функций (синус и косинус), да еще и от двух видов аргументов (х и 2х), то выполним замену суммы этих двух функций:

$z={\sin x\ }+{\cos x\ }.$

При возведении в квадрат этой суммы можно конкретно упростить полученное выражение. Выполним возведение в квадрат последнего равенства:

$z^2={\left({\sin x\ }+{\cos x\ }\right)}^2.$

Для упрощения полученного выражения раскроем скобки, используя формулы сокращенного умножения:

$z^2={{\sin }^2 x\ }+2{\sin x\ }{\cos x\ }+{{\cos }^2 x\ }.$

В правой части уравнения видим основное тригонометрическое тождество (сумма квадрата синуса и квадрата косинуса равна 1), а также удвоенное произведение синуса и косинуса, которое равно синусу двойного угла. Перепишем данное выражение с указанными изменениями:

$z^2={\sin 2x\ }+1.$

Выразим из последнего равенства синус:

${\sin 2x\ }=z^2-1.$

Подставим выражения для синуса 2х и суммы синуса и косинуса в исходное уравнение. Это позволит нам перейти к одной переменной z:

$z^2-1=3\left(z-1\right).$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение:

$z^2-3z+2=0.$

Определим корни уравнения по теореме Виета:

$z_1=1, z_2=2.$

Вернемся от переменной z к тригонометрическим функциям, отработав замену назад.
Рассмотрим первый случай при $z_1$ равном 1.

${\sin x\ }+{\cos x\ }=1.$

Данное уравнение решим с помощью добавления коэффициентов перед тригонометрическими функциями, чтобы можно было полученное выражение свернуть с помощью формулы синуса суммы:

$\sqrt{2}\left(\frac{1}{\sqrt{2}}{\sin x\ }+\frac{1}{\sqrt{2}}{\cos x\ }\right)=1;$

${\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ }=\frac{1}{\sqrt{2}}.$

Решением уравнения будет:
$x=2 \pi l$ и $x=\frac{\pi}{2}+2 \pi l$ , l — любое целое число.
Рассмотрим второй случай при $z_2$ равном 2.

${\sin x\ }+{\cos x\ }=2.$

Перейдем сразу к окончательному виду уравнения (ход решения как в предыдущем варианте):
${\sin \left(x+\frac{\pi}{4}\right)\ }=\frac{2}{\sqrt{2}}$ , что больше единицы, а значит уравнение корней не имеет, так как функция синус может иметь значения на интервале от —1 до 1.

Ответ. $x=2 \pi l$ и $x=\frac{\pi}{2}+2 \pi l$ , l — любое целое число.

sin2x = 3 (sinx + cosx – 1)

Пожалуйста, зарегистрируйтесь или войдите, чтобы добавить ответ.